Chủ đề này có 1 trả lời

[thuanhoang1712]

$\frac{1}{2cot^{2}x+1}+\frac{1}{2tan^{2}x+1}=\frac{15-cos4x}{8+sin^{2}2x}$
Mọi người giúp minh với. Cảm ơn

[dark templar]

$\frac{1}{2cot^{2}x+1}+\frac{1}{2tan^{2}x+1}=\frac{15-cos4x}{8+sin^{2}2x}$
Mọi người giúp minh với. Cảm ơn

ĐKXĐ:$\left\{\begin{matrix} \sin^2{x} \neq 0\\ \cos^2{x} \neq 0 \end{matrix}\right. \iff \sin{2x} \neq 0 \iff x \neq k\frac{\pi}{2}(k \in \mathbb{Z})$
Phương trình tương đương với:
$$\frac{1}{\cot^2{x}+\frac{1}{\sin^2{x}}}+\frac{1}{\tan^2{x}+\frac{1}{\cos^2{x}}}=\frac{2(7-\sin^2{2x})}{8+\sin^2{2x}} \iff \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}+1}+\frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}+1}=\frac{2(7-\sin^2{2x})}{8+\sin^2{2x}}$$
$$\iff \frac{\sin^2{x}}{2-\sin^2{x}}+\frac{1-\sin^2{x}}{1+\sin^2{x}}=\frac{2(7-\sin^2{2x})}{\sin^2{2x}+8}$$
Xét hàm số $f(t)=\frac{t}{2-t}+\frac{1-t}{1+t}(0<t \le 1)$
$f'(t)=\frac{6(2t-1)}{(t+1)^2(2-t)^2};f'(t)=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$
Bảng biến thiên của $f(t)$ có dạng $-;0;+$ nên ta có:
$$\underset{t \in (0;1]}{\max f(t)}=\max \{f(0);f(1) \}=1;\underset{t \in (0;1]}{\min f(t)}=f\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{2}{3}$$
Suy ra:$VT \in \left[\frac{2}{3};1 \right]$.
Mặt khác,xét hàm số $g(t)=\frac{2(7-t)}{8+t}(0<t \le 1)(1)$
$g'(t)=\frac{-30}{(8+t)^2}<0;\forall t \in (0;1]$
$\Rightarrow g(t)$ nghịch biến trên $(0;1] \Rightarrow \frac{4}{3}=g(1) \le g(t)<g(0)=\frac{7}{4}$.
Suy ra:$VP \in \left[\frac{4}{3};\frac{7}{4} \right)(2)$
Từ (1) và (2),ta có:$VP>VT$ hay phương trình vô nghiệm.