VMF - ĐỀ THI THỬ SỐ 5 - MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG: (Dành cho tất cả các thí sinh) (7 điểm) :
Câu I (2 điểm):
Cho hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{2\left( {x + 1} \right)}}$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số.
2. Tìm những điểm $M$ trên $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $M$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng $4x+y=0$.
Câu II (2 điểm):
1. Giải phương trình: $\cos^2 3x+\cos ^2 x+3\cos ^2 2x+\cos 2x=2$
2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered}
{x^2} + {y^2} - xy + 4y + 1 = 0\\
y\left[ {7 - {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right] = 2\left( {{x^2} + 1} \right) \\
\end{gathered} \right.$
Câu III (1 điểm) : Tính tích phân: $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx} $
Câu IV (1 điểm):
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$. $\widehat {BAD} = {60^0}$. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right),SA = a$. Gọi ${C'}$ là trung điểm của $SC$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $AC'$ và song song $BD$, cắt các cạnh $SB,SD$ của hình chóp lần lượt tại $B',D'$. Tính thể tích khối chóp $S.AB'C'D'$.
Câu V (1 điểm):
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=12$. Chứng minh rằng:
$$a\sqrt[3]{b^2+c^2}+b\sqrt[3]{c^2+a^2}+c\sqrt[3]{a^2+b^2}\le 12$$
PHẦN RIÊNG: (Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần: A hoặc B) (3 điểm) :
A. Chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm):
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):\,{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 2 = 0$. Viết phương trình đường tròn $\left( {C'} \right)$ tâm $I\left( {5;1} \right)$ biết $\left( {C'} \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại các điểm $A,B$ sao cho $AB = \sqrt 3 $
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 2 = 0$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ nằm trong $(P)$ sao cho $\Delta $ vuông góc với $d$ và khoảng cách từ $M$ đến $\Delta $ bằng $\sqrt {42} $.
Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh rằng nếu các số phức ${z_1},{z_2}$ thỏa $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|\sqrt 2 $ thì $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\sqrt 2 $
B. Chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm):
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đình $A(0;4)$, trọng tâm $G\left( {\frac{4}{3};\frac{2}{3}} \right)$ và trực tâm trùng với gốc tọa độ. Tìm tọa độ các đỉnh $B,C$ và diện tích tam giác $ABC$ biết ${x_B} < {x_C}$
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{1},\,\,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}
5x - 6y - 6z + 13 = 0\\
x - 6y + 6z - 7 = 0
\end{array} \right.$. Gọi $I$ là giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$. Tìm các điểm $A,B$ lần lượt thuộc ${d_1},{d_2}$ sao cho tam giác $IAB$ cân tại $I$ và có diện tích bằng $\frac{{\sqrt {41} }}{{42}}$.
Câu VII.b (1 điểm):
Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.
___________________________________________________________________________________________
Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm.
Đề thi được biên soạn bởi Hoàng Minh Quân, Nguyễn Sanh Thành đến từ VMF
PS: Cảm ơn admin T*genie* đã có nhiều ý kiến đóng góp quý báu để ban giám khảo hoàn thành đề thi này.
File gửi kèm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi batigoal: 05-03-2012 - 19:33