Đề thi lần I chọn đội tuyển trường thi HSG 11 tỉnh Quảng Bình
Bài 1. Trong mặt phẳng $(Oxy)$ cho Parabol $(P): y=x^2-2x$; Elip $(E): \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{1}=1$
Chứng minh rằng $(P),(E)$ cắt nhau tại 4 điểm phân biệt và 4 điểm này thuộc cùng 1 đường tròn.
Bài 2. Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases}8x^3+6x+4=y^3+3y^2+6y\\y^{2011}=3^{2010}(2x^{2011}+1)\\x>0 \end{cases}$$
Bài 3. Cho $\begin{cases} f(1)=1\\ f(x+1)=2012{f^2}(x)+f(x),n \in[1;+\infty) \end{cases}$
$u_n= \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{f(k+1)}$. Tìm $Lim u_n$
Bài 4. Cho hình chóp $SABCD:SA=SB=SC=b$; tam giác $ABC$ đều, $AB=a$.Chứng minh rằng:
a/ $ \frac{AP}{AS}= \frac{BQ}{BC}=k$
b/ Tìm $k$ để $MNPQ$ nhỏ nhất
Bài 5. Cho $p$ là một số nguyên tố.Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên thì tồn tại số nguyên tố $q$ sao cho $n^p-p$ chia hết cho $q$