Một bài khá hay
Cho $\dfrac{a_1}{m + n} + \dfrac{a_2}{m + n - 1} + ... + \dfrac{a_n}{m + 1} = 0$ Với $m > 0, n \in N^*$
Chứng minh rằng , phương trình sau đây có nghiệm với $x \ne 0$:
$$a_1x^{n - 1} + a_2x^{n - 1} + ... + a_{n - 1}x + a_n = 0$$
Anh sửa lại chỗ này. Phương trình cần chứng minh có nghiệm phải là: $$a_1x^{n - 1} + a_2x^{n - 2} + ... + a_{n - 1}x + a_n = 0$$
Đặt $$f\left( x \right) = {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}$$
Xét hàm số: $$F\left( x \right) = \frac{{{a_1}}}{{m + n}}{x^{m + n}} + \frac{{{a_2}}}{{m + n - 1}}{x^{m + n - 1}} + ... + \frac{{{a_n}}}{{m + 1}}{x^{m + 1}}$$
Hàm số $F(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và có:
$$F'\left( x \right) = {a_1}{x^{m + n - 1}} + {a_2}{x^{m + n - 2}} + ... + {a_n}{x^m} = {x^m}f\left( x \right)$$
$$F\left( 0 \right) = 0;F\left( 1 \right) = \frac{{{a_1}}}{{m + n}} + \frac{{{a_2}}}{{m + n - 1}} + ... + \frac{{{a_n}}}{{m + 1}} = 0$$
Theo định lí Lagrange, tồn tại ${x_0} \in \left( {0;1} \right)$ sao cho:
$$F'\left( x_0 \right) = {a_1}{x_0^{m + n - 1}} + {a_2}{x_0^{m + n - 2}} + ... + {a_n}{x_0^m} = {x_0^m}f\left( x_0 \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x_0 \right) = 0\,\,\text{do}\,\,\,\,x_0 \ne 0$$
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
