Chủ đề này có 5 trả lời

[Ispectorgadget]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 10
Ngày 10/03/2012
Thời gian làm bài: 180'

Câu 1:
a) Giải phương trình: $$\sqrt{3x+1} - \sqrt{6-x} + 3x^2 - 14x - 8 = 0$$
b) Giải hệ phương trình : $$ \begin{cases} 8x^3y^3+27=18y^3 \\ 4x^2y+6x=y^2 \end{cases}$$

Câu 2:
a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2} \ge \frac{3}{2}$
b) Cho a, b, c, d là bốn số thực dương.
Chứng minh rằng $\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d} \ge 0$.

Câu 3:
Cho x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn $x^2+y^2+1$ chia hết cho $xy$.
Chứng minh rằng $$\frac{x^2+y^2+1}{xy}=3$$.

Câu 4:
Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và G là trọng tâm tam giác. Giả sử $\widehat{OIA}=90^0$.
Chứng minh rằng : IG song song với BC.
Chứng minh rằng : $\widehat{BAC} \le 60^0$

Câu 5:
Một cửa hàng phở có 4 loại phở: phở bò, phở gà, phở ngan, phở tôm. Một nhóm cso 7 người vào ăn phở và gọi 7 bát phở. Hỏi họ có bao nhiêu cách gọi phở cho 7 người trên?


______
Nguồn: Mathscope

[Ispectorgadget]

Câu 2
a) $\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$
$VT\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}=3-\frac{(a+b+c)^2}{6}=\frac{3}{2}$
b) Tương tự

Bài 72:
Cho $x;y;z;t$ là các số dương. Tìm GTNN của:
\[P = \dfrac{{x - t}}{{t + y}} + \dfrac{{t - y}}{{y + z}} + \dfrac{{y - z}}{{z + x}} + \dfrac{{z - x}}{{x + t}} \]
$\dfrac{x-t}{t+y}+\dfrac{y-z}{z+x}=\dfrac{x+y}{t+y}+\dfrac{y+x}{z+x}-2=(x+y)(\dfrac{1}{t+y}+\dfrac{1}{x+z})-2$$\geq \dfrac{(x+y)4}{t+y+z+x}-2$
Tương tự ta có:$\dfrac{t-y}{y+z}+\dfrac{z-x}{x+t}-2=\dfrac{t+z}{y+z}+\dfrac{z+t}{x+t}-2=(t+z)(\dfrac{1}{z+y}+\dfrac{1}{x+t})-2\geq \dfrac{4(t+z)}{x+y+t+z}-2$
Cộng lại ta được: $P\geq$$\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z+t}.4-4=0$
Dấu "=" xảy ra khi các số hạng bằng nhau
\

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-03-2012 - 19:58

[nthoangcute]

Câu 2
a) $a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{a}{2}$
Chứng minh tương tự với 2 biểu thức còn lại ta có:
$VT\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Nhầm rùi bạn kìa

Câu 2
a) $a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{b}{2}$
Chứng minh tương tự với 2 biểu thức còn lại ta có:
$VT\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

[nthoangcute]

Câu 3, tương tự:

Lời giải:
Đặt $k=\dfrac{x^2+y^2+1}{xy}$. Cố định k và trong các bộ số $(x;y)$ thỏa đề, ta chọn $(X;Y)$ là bộ số thỏa mãn tổng nhỏ nhất.
Ta sẽ chứng minh $X=Y$.
Giả sử, $X \neq Y$. Không mất tính tổng quát, giả sử $X>Y$.
Xét phương trình ẩn t:
\[\dfrac{{{t^2} + {Y^2} + 1}}{{tY}} = k \Leftrightarrow {t^2} - kYt + {Y^2} + 1 = 0 (1) \]
(1) là phương trình bậc 2 ẩn t. Do giả thiết nên $t_1=X$.
\[{t_2} = kY - X = \dfrac{{{Y^2} + 1}}{X}\]
Nên $t_2$ là số nguyên dương.
Lại có:
\[X > Y \ge 1 \Rightarrow {t_2} = \dfrac{{{Y^2} + 1}}{X} < X\]
Cho nên $(t_2;Y)$ là một bộ số nguyên dương khác thỏa đề mà $t_2+Y<X+Y$: trái với cách chọn $(X;Y)$.
Vậy $X=Y$
\[k = \dfrac{{{X^2} + {Y^2} + 1}}{{XY}} = \dfrac{{2{X^2} + 1}}{{{X^2}}} = 2 + \dfrac{1}{{{X^2}}} \in \mathbb{N} \Rightarrow {X^2}|1 \Rightarrow {X^2} = 1 \Rightarrow k = 3\]

[nthoangcute]

Hình như đây là bài chọn đội tuyển lớp 9 chứ không phải lớp 10:

Câu 1:
b) Giải hệ phương trình : $$ \begin{cases} 8x^3y^3+27=18y^3 \\ 4x^2y+6x=y^2 \end{cases}$$

Ta có:
$$\begin{cases} 8x^3y^3+27=18y^3 \\ 4x^2y+6x=y^2 \end{cases}$$
Suy ra $4x^2y^2+6xy=y^3$
Từ đó ta có:
$8x^3y^3+27=18(4x^2y^2+6xy)$
Đặt $xy=t$
Từ đó ta có $(2t+3)(4t^2-42t+9)=0$
Giải ta có $t=\frac{-3}{2}$ hoặc $t={\frac {21}{4}}-\frac{9}{4}\,\sqrt {5}$ hoặc $t={\frac {21}{4}}+\frac{9}{4}\,\sqrt {5}$
Xét $t=\frac{-3}{2}$ ta có:
$18y^3=0$ hay $y=0$ (không thỏa mãn)
Xét $t=\frac {21}{4}-\frac{9}{4}\,\sqrt {5}$ ta có:
$18y^3=4374-1944 \sqrt{3}$
Hay $y=\frac{9- 3 \sqrt{5}}{2}$, từ đó tìm được $x =\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
Thử lại . . .
Xét tương tự với $t={\frac {21}{4}}+\frac{9}{4}\,\sqrt {5}$
$y=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$, từ đó tìm được $x =\frac{3+\sqrt{5}}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 12-03-2012 - 20:31

[Crystal]

Câu 1:
a) Giải phương trình: $$\sqrt{3x+1} - \sqrt{6-x} + 3x^2 - 14x - 8 = 0$$
b) Giải hệ phương trình : $$ \begin{cases} 8x^3y^3+27=18y^3 \\ 4x^2y+6x=y^2 \end{cases}$$

Vui tí

a. Điều kiện: $ - \frac{1}{3} \le x \le 6$. Phương trình đã cho tương đương với:
$$\sqrt {3x + 1} - 4 - \sqrt {6 - x} + 1 + 3{x^2} - 14x - 5 = 0$$
$$ \Leftrightarrow \frac{{3x - 15}}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{{x - 5}}{{\sqrt {6 - x} + 1}} + \left( {3x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {\frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {6 - x} + 1}} + 3x + 1} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow x = 5\,\,\left( \text{do}\,\,\,{3x + 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {6 - x} + 1}} + 3x + 1 > 0} \right)$$
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là $x=5$

b. Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ. Lần lượt chia phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai cho ${y^3} \ne 0,{y^2} \ne 0$, ta được:

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{8{x^3}{y^3} + 27 = 18{y^3}}\\
{4{x^2}y + 6x = {y^2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8{x^3} + \frac{{27}}{{{y^3}}} = 18\\
\frac{{4{x^2}}}{y} + 6\frac{x}{y} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x} \right)^3} + {\left( {\frac{3}{y}} \right)^3} = 18\\
2x.\frac{3}{y}\left( {2x + \frac{3}{y}} \right) = 3
\end{array} \right.$$
Đặt $u = 2x,\,\,v = \frac{3}{y}$, ta có hệ mới sau:

$$\left\{ \begin{array}{l}
{u^3} + {v^3} = 18\\
uv\left( {u + v} \right) = 3
\end{array} \right.$$
Hệ này thì đơn giản rồi ...

---------------------------------
P/s: Bạn nthoangcute có thể tham khảo lời giải trên để tìm ra kinh nghiệm giải toán cho mình nhé.