Bài 5 :
Ta có $x,y,z$ là nghiệm
Xét PT :
$A=(x+t)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2 + t^2+2tx=3xyz + t^2+2tx$
$\Leftrightarrow A=3xyz + 3yzt +t^2 +2tx -3yzt= 3(x+t)yz +t(t+2x-3yz)$
Nếu ta chọn $t=3yz-2x$
Thì trở thành $(x+t)^2+y^2+z^2=3(x+t)yz$
Kết luận đc chưa chú
Bài 4:
$5^{1995}= 5^{11}(5^{1984}-1)+5^{11}$
Cứ tách $5^{1984}-1$ theo hằng đẳng thức thì sẽ chia hết cho $2^8$
Vậy $5^{11}(5^{1984}-1)$ chia hết cho $10^8$
Vậy 8 chữ số ấy là 8 chữ số cuối cùng của $5^{11}$
Mình thấy cách làm của bạn ở câu 5 rất hay và ngắn gọn, mình cũng có một cách_hình như là gần giống của bạn ( cách này là mình nhớ lại 1 BT ở đề thi của thầy giáo mình nên không biết đúng hay không, nếu có sai thì s..o.r.ry mọi người nha
).
G/s $(x_{0};y_{0};z_{0})$ là một nghiệm nguyên dương của PT đã cho và thoả mãn $1\leq x_{0}\leq y_{0}< z_{0}$. Ta có: $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}=3x_{0}y_{0}z_{0}$. (1)
Xét PT bậc 2 biến k như sau:
$k^{2}-3y_{0}z_{0}.k+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}=0(*)$
Vì: $k_{1}=x_{0}$ là một nghiệm của (*) (từ (1)ta suy ra được) nên (*) còn có nghiệm thứ 2 $k=k_{2}$.
Theo hệ thức Vietè thì $k_{2}=3y_{0}z_{0}-x_{0}$. Dễ thấy $k_{2}\in \mathbb{Z}^{+}$.
Đặt: $x_{1}=y_{0};y_{1}=z_{0};z_{1}=3y_{0}z_{0}-x_{0}$.
Ta có thể KT được $(x_{1};y_{1};z_{1})$ cũng là một nghiệm của PT (1) và thoả mãn điều kiện:
$1\leq x_{0}\leq y_{0}< z_{0}$
=> ta cũng tìm được một nghiệm nguyên dương $(x_{1};y_{1;}z_{1})$ khác thoả mãn đk đó và $z_{1}> z_{0}$.
Vậy PT (1) có vô só nghiệm nguyên dương.
__________________________________________________________________________________
Tiện đây mình "chém" luôn
Bài 2:
G/s tồn tại các số hữu tỉ $a,b,c,d$ thoả mãn:
$(a+b\sqrt{2})^{2012}+(c+d\sqrt{2})^{2012}=5+4\sqrt{2}$(1)
Nhận thấy
: -, Nếu $a,b\in \mathbb{Q}$ thì $(a+b\sqrt{2})^{2012}+(a-b\sqrt{2})^{2012}\in \mathbb{Q}.$
-, Nếu $a,b\in \mathbb{Q}$ và$a+b\sqrt{2}=0$ thì $x=y=0.$
Từ đó, ta có:
$(a+b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})=(ac-2bd)+(bc-ad)\sqrt{2}$
$(a-b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac-2bd)-(bc-ad)\sqrt{2}$.
Lần lượt nhân hai vế của (1) với $(a-b\sqrt{2})^{2012}$ và $(c-d\sqrt{2})^{2012}$ rồi cộng hai vế tương ứng, ta có và suy ra được:
$(5+4\sqrt{2})\left [ (a-b\sqrt{2})^{2012}+(c-d\sqrt{2})^{2012} \right ]\in \mathbb{Q}$.
Lại có: $5+4\sqrt{2}=\frac{-7}{5-4\sqrt{2}}$
nên: $(a-b\sqrt{2})^{2012}+(c-d\sqrt{2})^{2012}=k(5-4\sqrt{2}), k\in \mathbb{Q}$(2)
Cộng vế theo vế của (1) và (2), ta có:
$(5k+5)+(4-4k)\sqrt{2}\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow k=1.$
=> $(a-b\sqrt{2})^{2012}+(c-d\sqrt{2})^{2012}=5-4\sqrt{2}$< 0$$
=> điều này không xảy ra
=> không tồn tại các số hữu tỉ $a,b,c,d$ thoả mãn y/c.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 18-03-2012 - 06:41
