Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nam Định năm học 2011-2012
#1
Đã gửi 24-03-2012 - 19:21
NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
1) Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một vào thỏa mãn điều kiện:
$a^{2}-b=b^{2}-c=c^{2}-a$
Chứng minh rằng: $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1$
2) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$
Chứng minh rằng: $\frac{(b+c)\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{b^{2}+1}\times \sqrt{c^{2}+1}}=1$
Câu 2:
1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y^{2}-3x} +\sqrt{x^{2}+8y}=5& & \\ x(x-3)+y(y+8)=13& & \end{matrix}\right.$
2) Giải phương trình: $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^{2}-4x-2$
Câu 3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên không âm (x;y;z) thỏa mãn đẳng thức:
$2012^{x}+2013^{y}=2014^{z}$
Câu 4: Cho đường tròn (O), AB là đường kính của (O). Điểm Q thuộc đoạn thẳng OB (Q khác O; Q khác B). Đường thẳng đi qua Q, vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D khác nhau (điểm D nằm trong nửa mặt phẳng bờ PS chứa B). Gọi G là giao điểm của các đường thẳng CD và AP. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng CD và PS. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AQ.
1) Chứng minh rằng tam giác PDE đồng dạng với tam giác PSD
2) Chứng minh rằng EP=EQ=EG
3) Chứng minh đường thẳng KG vuông góc với đường thẳng CD
Câu 5: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{1+8a^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^{3}}}\geq 1$
- dohuuthieu, davildark, hieuvipntp và 2 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 24-03-2012 - 22:09
$VT=\frac{(b+c)\sqrt{(a+c)(a+b)}}{\sqrt{(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)}}=1(Q.E.D)$Câu 1:
2) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$
Chứng minh rằng: $\frac{(b+c)\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{b^{2}+1}\times \sqrt{c^{2}+1}}=1
Mọi người làm tiếp mấy câu còn lại nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 24-03-2012 - 22:09
- chaugaihoangtuxubatu yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#3
Đã gửi 24-03-2012 - 22:45
Ta có:
$a^{2}-b=b^2-c\rightarrow a+b+1=\frac{a-c}{a-b}$
$b^{2}-c=c^2-a\rightarrow b+c+1=\frac{b-a}{b-c}$
$c^{2}-a=a^2-b\rightarrow c+a+1=\frac{c-b}{c-a}$
Suy ra:
(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1) = $\frac{a-c}{a-b}.\frac{b-a}{b-c}.\frac{c-b}{c-a}=-1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi [email protected]: 24-03-2012 - 22:51
- huedao97, L Lawliet, nthoangcute và 3 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 26-03-2012 - 21:13
- chaugaihoangtuxubatu và adteams thích
#5
Đã gửi 26-03-2012 - 21:21
xét y=0 phương trình ko có nghiệm nguyên
xét z= 0 phương trình ko có nghiệm nguyên
xét x;y;z lớn hơn hoặc bằng 1 thì
2012x chia hết cho 2
2013y ko chia hết cho 2
=> 2012x + 2013y ko chia hết cho 2
mà 2014z chia hết cho 2
=> vô lý
vậy phương trình có nghiệm (x;y;z)=(0;1;1)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi matmotmi1121997: 26-03-2012 - 21:22
- chaugaihoangtuxubatu và DarkBlood thích
#6
Đã gửi 27-03-2012 - 17:33
$1+8a^{3}=(2a+1)(4a^{2}-2a+1)\leq (\frac{(2a+1+4a^{2}-2a+1)}{2})^{2}=(2a+1)^{2}$
=>$\sqrt{1+8a^{3}}\leq2a^{2}+1$
Tượng tự
$\sqrt{1+8b^{3}}\leq2b^{2}+1$
$\sqrt{1+8c^{3}}\leq2c^{3}+1$
=> $\frac{1}{\sqrt{1+8a^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^{3}}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^{3}}} \geq \frac{1}{2a^{2}+1}+\frac{1}{2b^{2}+1}+\frac{1}{2c^{2}+1} \geq \frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3}=\frac{9}{6+3}=1$
=>dpcm
Đấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 27-03-2012 - 21:36
- perfectstrong, chaugaihoangtuxubatu và phuocphan09 thích
#7
Đã gửi 25-09-2012 - 22:33
Điều kiện
{x - 1≥ 0
{3 - x≥ 0 ⇔ 1≤ x≤ 3
(*)
pt <=>
[√(x-1) -1] + [√(3-x) -1] = 3x² - 4x - 4
⇔ (x - 2)/[√(x-1) +1] - (x - 2)/[√(3-x) +1] - (x-2)(3x + 2) = 0
(Nhân với lượng liên hợp và phân tích đa thức)
⇔ (x - 2)[1/(√(x-1) +1) - 1/(√(3-x) +1) - (3x + 2)] = 0
⇔ x - 2 = 0
hoặc [1/(√(x-1) +1) - 1/(√(3-x) +1) - (3x +2)] = 0
Thấy 1/(√(x-1)+1) - 1/(√3-x)+1) - (3x +2) < 0 với mọi x thuộc đk c xác định.
=> x - 2 = 0
==> Vậy x = 2 là nghiệm của pt.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaugaihoangtuxubatu: 25-09-2012 - 22:40
#8
Đã gửi 25-09-2012 - 22:39
Đặt a = y^2 - 3x
b = x^2 + 8y
=> căna + cănb = 5
và a + b = 13
Từ đây em bấm máy tính thì giải đc pt, chứ pt này em cũng ko biết giải thế nào, mong mọi ng chỉ cho. Những pt như thế này em rất muốn biết cách giải.
#9
Đã gửi 26-09-2012 - 22:30
Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 mà bạn?Câu 2.1 :
Đặt a = y^2 - 3x
b = x^2 + 8y
=> căna + cănb = 5
và a + b = 13
Từ đây em bấm máy tính thì giải đc pt, chứ pt này em cũng ko biết giải thế nào, mong mọi ng chỉ cho. Những pt như thế này em rất muốn biết cách giải.
Ta có:
$\sqrt{a}+\sqrt{b}=5\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}=25\Leftrightarrow \sqrt{ab}=6\Leftrightarrow ab=36,a+b=13\Rightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=9 \\ b=4 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} a=4 \\ b=9 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$
- C a c t u s và ayasaki thích
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
#10
Đã gửi 26-11-2012 - 22:07
Tức là khi giải 2 phương trình a,b ra x,y kìa!Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 mà bạn?
Ta có:
$\sqrt{a}+\sqrt{b}=5\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}=25\Leftrightarrow \sqrt{ab}=6\Leftrightarrow ab=36,a+b=13\Rightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=9 \\ b=4 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} a=4 \\ b=9 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$
Khi rút y theo x hay ngược lại thì nó sẽ tạo ra 1 phương trình bậc 4. Đó mới là vấn đề!
Em đã giải quyết được!
#11
Đã gửi 23-03-2013 - 21:10
Tức là khi giải 2 phương trình a,b ra x,y kìa!
Khi rút y theo x hay ngược lại thì nó sẽ tạo ra 1 phương trình bậc 4. Đó mới là vấn đề!
Em đã giải quyết được!
z bạn lm đi. nhá?
#12
Đã gửi 23-03-2013 - 21:19
#13
Đã gửi 23-03-2013 - 21:23
Tức là khi giải 2 phương trình a,b ra x,y kìa!
Khi rút y theo x hay ngược lại thì nó sẽ tạo ra 1 phương trình bậc 4. Đó mới là vấn đề!
Em đã giải quyết được!
Dễ mà! Dùng cách phân tích phương trình bậc 4 thành 2 phương trình bậc 2 bằng cách dò ngiệm là được!
#14
Đã gửi 12-07-2013 - 19:04
đề bài hình học, điểm P, S ở đâu ra thế nhỉ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leorick King: 12-07-2013 - 19:05
#15
Đã gửi 29-03-2015 - 22:13
Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 mà bạn?
Ta có:
$\sqrt{a}+\sqrt{b}=5\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}=25\Leftrightarrow \sqrt{ab}=6\Leftrightarrow ab=36,a+b=13\Rightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=9 \\ b=4 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} a=4 \\ b=9 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$
từ đây thay x,y vào lm tn ý
#16
Đã gửi 06-01-2019 - 09:16
bài 3 cũng chẳng khó gì xét x = 0 thì y=1;z=1
xét y=0 phương trình ko có nghiệm nguyên
xét z= 0 phương trình ko có nghiệm nguyên
xét x;y;z lớn hơn hoặc bằng 1 thì
2012x chia hết cho 2
2013yko chia hết cho 2
=> 2012x + 2013y ko chia hết cho 2
mà 2014z chia hết cho 2
=> vô lý
vậy phương trình có nghiệm (x;y;z)=(0;1;1)
còn trường hợp x=0 và các số còn lại >1
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh