ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP TỈNH, BÀ RỊA VŨNG TÀU 2012
Câu 1. (3,0 điểm)
Giải các phương trình:
1. $ x^2+y-2(x+\sqrt{y}-1)=0$ ($ x, y $ là ẩn )
2. $ x^2-6\sqrt{x^2+1}+6=0$
Câu 2. (4,0 điểm)
Rút gọn biểu thức:
1. $A=\dfrac{\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{2+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}-\dfrac{\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{2-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}$
2. $B=\dfrac{1}{x^2+x}+\dfrac{1}{x^2+3x+2}+\dfrac{1}{x^2+5x+6}+\dfrac{1}{x^2+7x+12}+\dfrac{1}{x^2+9x+20}$
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $ 3n+5$chia hết cho $n-7$
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x(x^2+x+1)=4y(1+y)$ (với $x, y$ là ẩn).
Câu 4. (2,0 điểm)
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh: $$ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)$$
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$ và $CE $ vuông góc với nhau. Gọi $P$ là một điểm di động trên cung nhỏ $AE$ ($P$ khác $A$ và $E$). $CP$ cắt $OA$ tại $M$ và $BP$ cắt $OE$ tại $N$.
1. Chứng minh tam giác $CAM$ đồng dạng với tam giác $CPA$ và $\dfrac{OM}{MA}=\dfrac{PE.OC}{AP.CA}$.
2. Chứng minh $ \dfrac{OM}{MA}.\dfrac{ON}{NE}$ là một hằng số.
Câu 6. (4,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ đều có đường cao $AH$ ($H$ thuộc $BC$). $M$ là điểm di động trên cạnh $BC$ ($M $khác $ B$ và $C$).
Dựng $MP$ vuông góc với $AB $ tại $P$ và $MQ$ vuông góc với $AC$ tại $Q, AM $ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $D$ ($D $khác A).
1. Chứng minh tứ giác $APMQ $ nội tiếp trong một đường tròn.
2. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $APMQ$, chứng minh $OH$ vuông góc với $PQ$.
3. Khi $M$ di động trên cạnh $BC$ ($M$ khác $B$ và $C$), tìm tập hợp trung điểm $E$ của đoạn $AD$.
------- Hết -------