Chủ đề này có 1 trả lời

[bugatti]

Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang
Trường THPT Lục Ngạn số 1
Đề thi chọn học sinh giỏi
Môn thi :Toán 12
(Thời gián:180 phút)

Đề bài
Câu 1: Cho $y=x^{3}-3x^{2}+mx$.
a, Tìm m để hàm số trên đồng biến trên $(0;+\infty )$
b, Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, và các điểm cực trị của đồ thị đi qua đường thẳng d : $y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$
Câu 2:
1, Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}=1 & \\ x^{3}y-x^{2}+xy=1 & \end{matrix}\right.$
2,Giải phương trình sau:
$six(3x-\frac{\pi }{4})=sin2x.sin(x+\frac{\pi }{4})$
Câu 3
1, Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng $\frac{3}{2}$.2 điểm A(2;-3) và B(3;-2) có trọng tâm của tam giác nằm trên đường thẳng $y=3x-9$ .Tìm tọa dộ điểm C
2,Cho 3 số $a,b,c> 0$ và ab+bc+ca=3
Chứng minh rằng $\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$

[phuonganh_lms]

Câu 2:
1, Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}=1 & \\ x^{3}y-x^{2}+xy=1 & \end{matrix}\right.$
2,Giải phương trình sau:
$six(3x-\frac{\pi }{4})=sin2x.sin(x+\frac{\pi }{4})$
Câu 3
2,Cho 3 số $a,b,c> 0$ và ab+bc+ca=3
Chứng minh rằng $\frac{a^{3}}{b^{2}+3}+\frac{b^{3}}{c^{2}+3}+\frac{c^{3}}{a^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$

Cầu 2.
1. $\left\{\begin{matrix} x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}=1 (1)& \\ x^{3}y-x^{2}+xy=1 (2)& \end{matrix}\right.$
$(2) \Leftrightarrow (xy-1)(x^2+1)=0 \Leftrightarrow xy=1 (x,y \neq 0)$
Thay $y=\dfrac{1}{x}$ vào (1) ta được
$ x^4-x^2=0 \Leftrightarrow x=1,x=-1 \Rightarrow y=1,y=-1$
2.
$six(3x-\frac{\pi }{4})=sin2x.sin(x+\frac{\pi }{4})$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}(sin3x-cos3x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.sin2x.(sinx+cosx)$
$(sinx+cosx)(3-4+sin2x)=0$
Từ đấy tìm ra nghiệm
Câu 3.
Ta có $\dfrac{a^3}{b^2+3}=\dfrac{a^3}{b^2+ab+bc+ca}=\dfrac{a^3}{(a+b)(b+c)}$
AM-GM: $\dfrac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$
$\Rightarrow VT \ge \dfrac{3}{4}(a+b+c)-\dfrac{4}{8}(a+b+c)$
$\Leftrightarrow VT \ge \dfrac{a+b+c}{4}$
Ta có $ ab+bc+ca \le \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2 \Leftrightarrow a+b+c \ge 3$
$\Rightarrow VT \ge \dfrac{3}{4}$ dpcm.
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$