Chủ đề này có 1 trả lời

[maximus12]

$\int_{0}^{\pi }\frac{sin(nx)}{sinx}dx,n\epsilon \mathbb{N}$
Giải giùm minh nhanh nhanh các bạn ơi. Đang cần gấp. Bài này mình viết đúng đề đó nha.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 13-04-2012 - 22:52
tiêu đề! Hi vọng bạn không sửa đề lại để rồi bị vi phạm lần nữa!

[tienvuviet]

Vì hàm số không xác định tại $x=0$ nên ta lập hàm số phụ sau
$$F\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
  f\left( x \right),x \in \left( {0,\pi } \right)  \\
  n,x = 0  \\
  {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}n,x = \pi   \\
\end{gathered}  \right.$$
Khi đó ta có
$$I = \int_0^\pi  {\frac{{\sin \left( {n{\text{x}}} \right)}}{{\sin x}}dx}  = \int_0^\pi  {F\left( x \right)dx} $$
Khi đó theo công thức Euler thì ta có
$$\sin kx = \frac{1}{{2i}}\left[ {{e^{ikx}} - {e^{ - ikx}}} \right]$$
Do đó

$$\frac{{\sin \left( {nx} \right)}}{{\sin x}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{e^{i\left[ {\left( {n + 1} \right) - 2k} \right]x}}}  = \left\{ \begin{gathered}
  2\left[ {\cos \left( {n - 1} \right)x + \cos \left( {n - 3} \right)x +  \cdots \cos x} \right]\left\{ {n \equiv 0\bmod 2} \right\}  \\
  2\left[ {\cos \left( {n - 1} \right)x + \cos \left( {n - 3} \right)x +  \cdots \cos x} \right] + 1\left\{ {n \equiv 1\bmod 2} \right\}  \\
\end{gathered}  \right.$$
Mặc khác
$$K = \int_0^\pi  {\cos kxdx}  = 0$$
Nên
Nếu $n$ chẵn thì $I=0$
Nếu $n$ lẻ thì $I=\pi$