Chủ đề này có 1 trả lời

[chuot nhoc]

cho các số a, b, c $\in \left [ 1;2 \right ]$. Chứng minh bất đẳng thức:
$\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}+\frac{b^{2}+c^{2}}{bc}+\frac{c^{2}+a^{2}}{ca}\leq 7.$

[danganhaaaa]

cho các số a, b, c $\in \left [ 1;2 \right ]$. Chứng minh bất đẳng thức:
$\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}+\frac{b^{2}+c^{2}}{bc}+\frac{c^{2}+a^{2}}{ca}\leq 7.$

bất đẳng thức tương đương với:
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$
không mất tính tổng quát ta giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$
ta có $\left ( 1-\frac{a}{b} \right )(1-\frac{b}{c})\geq 0$ và $(1-\frac{b}{a})(1-\frac{c}{b})\geq 0$
$\Rightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b})\leq 2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$
$\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 5+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$
xét $(2-\frac{a}{c})(\frac{1}{2}-\frac{a}{c})\leq 0$ vì $\frac{1}{2}\leq \frac{a}{c}\leq 2$
nên a/c + c/a $\leq \frac{5}{2}$
suy ra dpcm