4 replies to this topic

[bossulan239]

Chứng minh rằng nếu các số nguyên a và b thỏa mãn $2a^2+a=3b^2+b$
thì $a-b$ và $2a+2b+1$ đồng thời là hai số chính phương.

Edited by perfectstrong, 21-04-2012 - 20:34.

[perfectstrong]

Lời giải:
\[
\left( {a - b} \right)\left( {2a + 2b + 1} \right) = 2a^2 + a - 2b^2 - b = 3b^2 + b - 2b^2 - b = b^2
\]
Giả sử $p$ là một ước nguyên tố của $d=(a-b;2a+2b+1) \Rightarrow p|b^2 \Rightarrow p|b$
Mặt khác $p|a-b \Rightarrow p|a$
Mà $p|2a+2b+1 \Rightarrow p|1$: vô lý. Suy ra $(a-b;2a+2b+1)=1$.
Gọi $p_1;p_2;..;p_k$ là tất cả các ước nguyên tố của $b^2$ mà cũng là ước nguyên tố của $a-b$.
Gọi $q_1;q_2;...;q_l$ là tất cả các ước nguyên tố của $b^2$ mà cũng là ước nguyên tố của $2a+2b+1$.
Dễ thấy $p_i \neq q_j, \forall i,j$ và $p_1;...;p_k;q_1;...;q_l$ là tất cả các ước nguyên tố của $b^2$.
Đặt dạng phân tích tiêu chuẩn của $b^2$ là
\[
b^2 = p_1^{2\alpha _1 } .p_2^{2\alpha _2 } ...p_k^{2\alpha _k } .q_1^{2\beta _1 } .q_2^{2\beta _2 } ...q_l^{2\beta _l }
\]
(do $b^2$ là số chính phương nên số mũ của các thừa số nguyên tố trong phân tích chính tắc của $b^2$ phải chẵn).
\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{a - b = p_1^{2\alpha _1 } .p_2^{2\alpha _2 } ...p_k^{2\alpha _k } = \left( {p_1^{\alpha _1 } .p_2^{\alpha _2 } ...p_k^{\alpha _k } } \right)^2 } \\
{2a + 2b + 1 = q_1^{2\beta _1 } .q_2^{2\beta _2 } ...q_l^{2\beta _l } = \left( {q_1^{\beta _1 } .q_2^{\beta _2 } ...q_l^{\beta _l } } \right)^2 } \\
\end{array}} \right.:Q.E.D
\]

Edited by perfectstrong, 21-04-2012 - 21:09.

[bossulan239]

Chị giải bằng kiến thức lớp 8 được không

[tieulyly1995]

Chị ấy là con trai đấy bạn =))
-----------------
spam rồi

[cool hunter]

Chứng minh rằng nếu các số nguyên a và b thỏa mãn $2a^2+a=3b^2+b$
thì $a-b$ và $2a+2b+1$ đồng thời là hai số chính phương.

bài này c/m đc cả $3a+3b+1$ chính phương đấy.
$2a^2+a=3b^2+b$ (1)
(1)=> $(a-b)(2a+2b+1)=b^{2}$ (2)
(1)=> $(a-b)(3a+3b+1)=a^{2}$ (3)
Từ (2) & (3) => $(a-b)^{2}(2a+2b+1)(3a+3b+1)=a^{2}b^{2}$.
=> $(2a+2b+1)(3a+3b+1)$ là số chính phương. (4)
Đặt $(2a+2b+1;3a+3b+1)=d$ thì $d|(3a+3b+1)-(2a+2b+1)=a+b$
=> $d|2(a+b)$
Từ đó $d|(2a+2b+1)-2(a+b)=1$ => nên d =1.
Từ (4) & &(2a+2b+1;3a+3b+1)=1$ => $2a+2b+1$, $3a+3b+1$ đều là số chính phương.
Khi đó căn cứ vào (2) hoặc (3) => $a-b$ cũng là số chính phương. => đpcm

Edited by vtduy97, 21-04-2012 - 21:12.