Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho $a_1, a_2, ..., a_n$ là các số thực dương . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac{1}{1+a_2}+...+\dfrac{1}{1+a_n}}-\dfrac{1}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}}\ge \dfrac{1}{n}$$

[minh29995]

Giả sử $ a_{1}\geq a_{2}\geq .....$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\sum \frac{1}{a_{i}}-\sum \frac{1}{a_{i}+1}\geq \frac{1}{n}.\sum \frac{1}{a_{i}}.\sum \frac{1}{a_{i+1}}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a_{i}(a_{i}+1)}\geq \frac{1}{n}.\sum \frac{1}{a_{i}}.\sum \frac{1}{a_{i+1}}$
Áp dụng BĐT chebyshev cho 2 bộ đơn điệu cùng chiều là
$\frac{1}{a_{i}}$ và $\frac{1}{a_{i}+1}$
ta có Đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minh29995: 24-04-2012 - 07:42

[le_hoang1995]

Còn một cách nữa là dùng quy nạp.

Mình sẽ chứng minh BĐT mạnh hơn BĐT trên.
$\frac{1}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}+\frac{1}{\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+...+\frac{1}{b_n}}\leq \frac{1}{\frac{1}{a_1+b_1}+\frac{1}{a_2+b_2}+...+\frac{1}{a_n+b_n}}$

Với $n=2$, bất đẳng thức trên là VMO 1962:

250.
Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c, d$ ta có :
$$\dfrac{1}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}} \le \dfrac{1}{\dfrac{1}{a + c} + \dfrac{1}{b + d}}$$
$-------------VMO 1962--------------$

Ta có đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$$\frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}-(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}})\geq 0\Leftrightarrow \frac{a^2d^2-2abcd+b^2c^2}{(a+b+c+d)(a+b)(c+d))}\geq 0$$
Điều này đúng do $\frac{a^2d^2-2abcd+b^2c^2}{(a+b+c+d)(a+b)(c+d))}=\frac{(ad-bc)^2}{(a+b+c+d)(a+b)(c+d)}\geq 0$
Đẳng thức xảy ra $\iff ad=bc$

Giải sử BĐT đúng với n, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với n+1.

Thật vậy, theo giả sử ta có:
$\frac{1}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}}+\frac{1}{\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+...+\frac{1}{b_n}+\frac{1}{b_{n+1}}}$

$=\frac{1}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}}}}+\frac{1}{\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+...+\frac{1}{b_{n-1}}+\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{b_n}+\frac{1}{b_{n+1}}}}}$

$\leq \frac{1}{\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k+b_k}+\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}}+\frac{1}{\frac{1}{b_n}+\frac{1}{b_{n+1}}}}}\leq \frac{1}{\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k+b_k}+\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{a_n+b_n}+\frac{1}{a_{n+1}+b_{n+1}}}}}$ (do TH 2 số đúng nên)

$=\frac{1}{\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k+b_k}+\frac{1}{a_n+b_n}+\frac{1}{a_{n+1}+b_{n+1}}}$

Suy ra, mệnh đề cũng đúng với $n+1$. Vậy theo phương pháp quy nạp toán hoc, mệnh đề đúng với mọi $n\geq 2$.

Trong BĐT trên, lấy $b_1=b_2=b_3=...=b_n=1$ ta có BĐT đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 24-04-2012 - 19:44