Chủ đề này có 1 trả lời

[mysmallstar12]

Tính tích phân sau:$\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}\frac{x}{1-x^4}ln(\frac{3-x^2}{2})dx$

[tienvuviet]

Bài toán một cách dễ dàng sẽ được quy về bài toán sau
$$I = \int_0^{\frac{1}{3}} {\frac{{\ln \left( {3 - t} \right)}}{{1 - {t^2}}}dt} $$
Xét hàm số sau
$$I\left( k \right) = \int_0^{\frac{1}{k}} {\frac{{\ln \left( {k - t} \right)}}{{1 - {t^2}}}dt} $$
Với $k>1$
Khi đó ta có
$$I'\left( k \right) = \int_0^{\frac{1}{k}} {\frac{{dt}}{{\left( {k - 1} \right)\left( {1 - {t^2}} \right)}}}  - \frac{{\ln \left( {k - \frac{1}{k}} \right)}}{{{k^2}\left( {1 - \frac{1}{{{k^2}}}} \right)}} = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} \frac{{ - \ln \left( {k - 1} \right) - \ln \left( {k + 1} \right) + \ln \left( {k + 1} \right)k - \ln \left( {k - 1} \right)k}}{{{k^2} - 1}}$$
Khi đó ta có
$$I\left( k \right) = \frac{1}{4}{\ln ^2}\left( {k + 1} \right) - \frac{1}{4}{\ln ^2}\left( {k - 1} \right) + C$$
Bằng cách lấy giới hạn đẳng thức trên khi $k \to  + \infty $ ta sẽ thu đc $C=0$
Do đó ta có
$$I\left( 3 \right) = \int_0^{\frac{1}{3}} {\frac{{\ln \left( {3 - t} \right)}}{{1 - {t^2}}}dt}  = \frac{3}{4}{\ln ^2}\left( 2 \right)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienvuviet: 14-04-2013 - 19:23