Tổng quát của bài toán này:$$\overline{a_1a_2...a_n}=a_1^n+a_2^n+...+a_n^n$$
Giải như sau:$$\overline{a_1a_2...a_n}\geq 10^{n-1} \rightarrow a_1^n+...+a_n^n\geq 10^{n-1}<1>$$
Mặt khác
$$a_1^n+...+a_n^n\le 9^n.n <2>$$
Từ $<1><2>$ suy ra $9^n.n\geq 10^{n-1}<*>$
Nhận thấy $<*>$ gọi tạm là hàm số học đồng biến nhưng sau đó nghịch biến, có nghĩa là $n$ đến một thời điểm nào đó $9^n.n<10^{n-1}$ kể từ đó $n$ tăng thì $<*>$ không còn đúng, đó cũng là lí do tại sao bài toán này chỉ đến một giới hạn đúng, kể từ lúc nào đó sẽ không còn đúng.
Nhận thấy $9^{61}.61<10^{60}$ (theo
http://www.wolframal...^61%29*61-10^60)
Do đó bài toán tổng quát không còn đúng với $n=61$
Ta sẽ cm không còn đúng với $n\geq 61$
$n=61$ đúng
Giả sử $n=k$ đúng hay $9^k.k<10^{k-1}$
Ta sẽ cm $n=k+1$ đúng hay $9^{k+1}.(k+1)<10^k$
Thật vậy do GTQN suy ra
$$10^{k-1}>9^k.k \rightarrow 10^k>9^k.k.10=9^{k+1}.(k.\dfrac{10}{9})>9^{k+1}.(k+1)$$
Do $k\geq 9$ thì $k.\dfrac{10}{9}\geq k+1$
Do đó bài toán
không đúng với $n\geq 61$
Còn $n<61$ thì nghiệm phụ thuộc vào các chuyên gia lập trình thôi 
ta chỉ có khả năng làm TH đơn giản như $n=1,2,3,4,5$P/S:Như vậy về căn bản bài toán tổng quát được giải, điều đó chứng tỏ phương trình trên chỉ có hữu hạn nghiệm đây cũng là một kiến thức quan trọng trong lý thuyết số, ngoài ra $n=60$ vẫn có thể đúng http://www.wolframal...^60%29*60-10^59 (vì có nghiệm hay không tùy thuộc vào trường số N)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 09-05-2012 - 20:53
