Chủ đề này có 3 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Tính tích phân: $I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\cos }^4}x{{\sin }^2}x}}} $

Trích Đề thi thử ĐH năm 2012 lần 6 - Trường chuyên ĐHSP Hà Nội

[Crystal]

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 - LẦN 6- CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI

Câu 3. (1 điểm)
Tính tích phân: $I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\cos }^4}x{{\sin }^2}x}}} $

Ta có I=$\int \frac{dx}{(sinxcosx)^{2}cos^{2}x} $
I=$\int \frac{4d(2x)}{sin^{2}2x(1+cos2x)}$
Đến đây đặt $tanx=t\Rightarrow dt=(1+t^{2})dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{1+t^{2}}$
Khi đó $sin2x=\frac{2t}{1+t^{2}}$;$cos2x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$
I=$\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1}\frac{4(t^{2}+1)}{3t^{2}+1}dt$
I=$\int (\frac{4}{3}+\frac{8}{9t^{2}+3})dt$. Đến đây đặt theo tan tiếp mn nha. . Mình sẽ làm ra đáp án rồi mn tham khảo.

[YenThanh2]

Làm tiếp nha:
Đặt $\sqrt{3}t=tanu\Rightarrow \sqrt{3}dt=\frac{du}{cos^{2}u}$
Suy ra cái $I_{1}=\int_{\sqrt{3}}^{1}\frac{8}{3}udu$
nênI=$\frac{4}{3}-\frac{4}{3\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}-\frac{8}{3}$.
Vậy I=$\frac{20-4\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$

[levanquy]

Cách khác:
$\int{\frac{1}{sin^2x}.(1+\frac{1}{cot^2x})^2}dx$
Đặt t = cotx. suy ra $dt = -\frac{1}{sin^2x}dx$
Ta có :$ I = -\int{(1+\frac{1}{t^2})^2}dt$ tới đây dễ rồi.