Chủ đề này có 7 trả lời

[NTHMyDream]

Câu 1:
1. Cho P = ( a+b )( b+c )( c+a ) - abc với a'b'c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu : a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.
2. Q =$\sqrt{\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}}$ là một số hữu tỉ

Câu 2 : Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn hệ thức : $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=6$ . tìm Min P= x+$y^{2}+z^{3}$

Câu 3:cchứng minh rằng:
$C=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq 2\sqrt{n}-1$
$\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{(n-1)^{2}+n^{2}}< \frac{1}{2}$

câu 4:
cho 2 số nguyên dương a,b thỏa $\frac{a+1}{b}$+$\frac{b+1}{a }$ là số nguyên. chứng minh ước số chung lớn nhất của a và b ko lớn hơn $\sqrt{a+b }$

bài 5: giải phương trình:
$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{3x-3}}=\sqrt{3}\left ( \frac{1}{\sqrt{4x-3}}+\frac{1}{\sqrt{5x-6}} \right )$

câu 6:Giải
$\left\{\begin{matrix} 3xy-x-y=3\\ 3yz-y-z=13\\ 3zx-z-x=5 \end{matrix}\right.$

câu 7: cho f(x) là một đa thức bậc 3 có hệ số nguyên. chứng minh nếu f(x) nhận$3-\sqrt{2}$là 1 nghiệm thì f(x) cũng có nghiệm là $3+\sqrt{2}$

câu 8: trên bảng ghi 2008 dấu cộng và 2009 dấu trừ. mỗi lần thực hiện ta xóa đi 2 dấu và thay bởi dấu + nếu 2 dấu bị xóa cùng loại và thay bởi dấu trừ nếu 2 dấu bị xóa khác nhau. hỏi sau 4016 lần thực hiện như vậy trên bảng còn lại dấu j?

câu 9: giải phương trinh $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ với a khác 0 và biết phương trình có 1 nghiệm x=$\alpha$

câu 10 Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC
1/ giải pt: $x^{2}-(a+b+c)x+ab+ac+bc=0$
2/$\sqrt{12-\frac{3}{x^{2}}}+\sqrt{4x^{2}-\frac{3}{x^{2}}}=4x^{2}$

câu 10
cho x,y,z $> 0$ thỏa mãn x+y+z=1. chứng minh:
$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \sqrt{3}$

câu 11: Tìm các số tự nhiên m sao cho $x^{2}-(2m+3)^{2}x +2m+2=0$ (với m là tham số) có các nghiệm đều là những số nguyên

câu 12: cho hệ $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{4}+13=6x^{2}y^{2}+m\\ xy(x^{2}+y^{2})=m \end{matrix}\right.$
a> giải hệ với m=-10
b> chứng minh ko tồn tại giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất

câu 13:
cho các số a,b,c đều lớn hơn $\frac{25}{4}$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q=$\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}$

câu14: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN :
1/đưa về phương trình tích $5x+3xy-y^{2}=-25$
2/ dùng điều kiện $b^{2}-4ac \geq 0$

a> $x^{3}+27xy+2009=y^{3}$
b>$x^{3}-y^{3}=xy+8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnThuy: 20-05-2012 - 12:48

[nthoangcute]

Câu 1:
1. Hình như $P=(a+b+c)(ab+bc+ca)$. Vì $a+b+c$ chia hết cho 4 nên $P$ cũng chia hết cho 4
2. Hình như $Q=\sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)^2}{(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2}}=\begin{vmatrix}
\frac{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}{(x-y)(y-z)(z-x)}\\
\end{vmatrix}$ là sô hữu tỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-05-2012 - 22:29

[nthoangcute]

Câu 2:
Có: $6=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z} \geq \frac{36}{x+2y+3z}$
Suy ra $x+2y+3z \geq 6$
Vậy $P=x+y^2+z^3=x+2y+3z+(y-1)^2+(z+2)(z-1)^2-3 \geq 6-3=3$

[yeutoan11]

Câu 1.2 cách này " phê" hơn
Bổ đề : $a+b+c=0 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left | \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right |$
Áp dụng ra ngay ĐPCM

[L Lawliet]

câu 4:
cho 2 số nguyên dương a,b thỏa $\frac{a+1}{b}$+$\frac{b+1}{a }$ là số nguyên. chứng minh ước số chung lớn nhất của a và b ko lớn hơn $\sqrt{a+b }$

Câu 4 của bạn ở đây:

Bài 3:
a) Gọi d là ước cũa a,b
Quy đồng ta được $\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$ là số nguyên nên $a^2+b^2+a+b$ chia hết cho ab
mà $ab\vdots d^2$ do đó $a^2+b^2+a+b\vdots d^2$
Mặt khác lại có $a^2+b^2\vdots d^2$ (do d là ước của a và b)
Do vậy $a+b\vdots d^2\Rightarrow a+b\geq d^2\Rightarrow \sqrt{a+b}\geq d$
Từ đây suy ra điều cần chứng minh $\blacksquare$

câu 10 Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC
1/ giải pt: $x^{2}-(a+b+c)x+ab+ac+bc=0$

Câu này phải là chứng minh phương trình vô nghiệm chứ nhỉ
Xét $\Delta =(a+b+c)^2-4(ab+bc+ca)=a^2-ab-ca+b^2-ab-bc+c^2-bc-ca=a(a-b-c)+b(b-c-a)+c(c-a-b)< 0$ (vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm với mọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.

[tson1997]

câu 8: trên bảng ghi 2008 dấu cộng và 2009 dấu trừ. mỗi lần thực hiện ta xóa đi 2 dấu và thay bởi dấu + nếu 2 dấu bị xóa cùng loại và thay bởi dấu trừ nếu 2 dấu bị xóa khác nhau. hỏi sau 4016 lần thực hiện như vậy trên bảng còn lại dấu j?

câu 10
cho x,y,z $> 0$ thỏa mãn x+y+z=1. chứng minh:
$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \sqrt{3}$

Câu 8: Hình dung thế này cho dễ nhớ nhé: Coi dấu + là 1 và coi dấu trừ là -1.Mỗi lần ta xóa 2 số và thay bằng tích của nó.Ta thấy số các số -1 hoặc là bị giảm đi 2,hoặc là k bị giảm đi.Điều này có nghĩa là tính chẵn lẻ của số các số -1 là 1 đại lượng bất biến nên sau bao nhiêu lần đổi thì số các số -1 vẫn là 1 số lẻ.Do đó sau 4016 lần thực hiện thì ta còn lại số -1 hay còn lại số trừ

Câu 10: Ta có : $\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{(x+y)^2-xy} \geq \sqrt{\frac{3(x+y)^2}{4}}=\frac{(x+y)\sqrt{3}}{2}$(áp dụng $xy \leq \frac{(x+y)^2}{4}$)
Nên tóm lại ta có :
$VT \geq \frac{(x+y+y+z+z+x)\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ (do x+y+z=1)

Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tson1997: 16-05-2012 - 10:46

[caybutbixanh]

Câu 1:
1. Hình như $P=(a+b+c)(ab+bc+ca)$. Vì $a+b+c$ chia hết cho 4 nên $P$ cũng chia hết cho 4

Anh việt này, anh có thể trình bày cụ thể được hơn không ? Em thấy khá khó hiểu

[yellow]

Câu 3:cchứng minh rằng:
$C=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq 2\sqrt{n}-1$

Với $n\in \mathbb{N}^*$ ta có:
$\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$
Từ đó bạn áp dụng vào dãy số ta sẽ được $C$ $<$ $2(\sqrt{n}-1)+1=2\sqrt{n}-1$