Chủ đề này có 1 trả lời

[rongcon2012]

Các bạn tính dùm nhe, thank:
Tính tích phân: $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{sinx}}dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rongcon2012: 16-05-2012 - 18:57

[tienvuviet]

Ta xét nguyên hàm tổng quát sau
$$I = \int {{{\sin }^\alpha }x{{\cos }^\beta }xdx} $$
Đặt ${\sin ^2}x = t \Rightarrow dt = 2\sin x\cos xdx \to \sin x\cos xdx = \frac{{dt}}{2}$
Khi đó ta sẽ có
$$I = \int {{{\sin }^\alpha }x{{\cos }^\beta }xdx} = \int {{{\sin }^{\alpha - 1}}x{{\cos }^{\beta - 1}}x\sin x\cos xdx} = \frac{1}{2}\int {{t^{\alpha - 1}}{{\left( {1 - t} \right)}^{\beta - 1}}dt} $$
Tới đây thì ta đã đưa về nguyên hàm hàm nhị thức và công việc là dùng định lý Tchebyscheff giải thôi

Và theo những gì ở trên thì tích phân này không tính được và thường người ta thường dùng công thức sau
$$I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^{2\alpha  + 1}}x{{\cos }^{2\beta  + 1}}dx}  = \frac{{\Gamma \left( {\alpha  + 1} \right)\Gamma \left( {\beta  + 1} \right)}}{{2\Gamma \left( {\alpha  + \beta  + 1} \right)}}$$
trong đó
$\Gamma \left( x \right)$ là hàm số gamma