Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Tính tích phân: \[I = \int\limits_0^\pi {\ln \left( {a + b\cos x} \right)}dx\] với $a,b$ là các hằng số thực thỏa mãn $a > \left| b \right|$

----

Đáng để thảo luận!

[tienvuviet]

Bài toán trên ta chỉ cần xét trong trường hợp $b=1$ và $a>1$
Ta xét 2 bổ đề sau đây
Bổ đề 1:
Giả sử ta xét tích phân sau $I\left( \lambda \right) = \int_a^b {f\left( {x,\lambda } \right)d{\text{x}}} $ khi đó ta sẽ có
$$I'\left( \lambda \right) = \int_a^b {\left[ {\frac{d}{{d\lambda }}f\left( {x,\lambda } \right)} \right]dx} $$
Chứng minh: ta sử dụng định nghĩa như sau
$$\begin{gathered}
I'\left( \lambda \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta h \to 0} \frac{{I\left( {\lambda + \Delta h} \right) - I\left( \lambda \right)}}{{\Delta h}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta h \to 0} \frac{{\int_a^b {f\left( {x,\lambda + \Delta h} \right)dx} - \int_a^b {f\left( {x,\lambda } \right)dx} }}{{\Delta h}} \\
= \int_a^b {\left[ {\mathop {\lim }\limits_{\Delta h \to 0} \frac{{f\left( {x,\lambda + \Delta h} \right) - f\left( {x,\lambda } \right)}}{{\Delta h}}} \right]dx} = \int_a^b {\left[ {\frac{d}{{d\lambda }}f\left( {x,\lambda } \right)} \right]dx} \\
\end{gathered} $$
Bổ đề 2
$$J = \int_0^\pi {\ln \left( {1 + \cos x} \right)dx} = - \pi .\ln 2$$
Thật vậy ta có
$$J = \int_0^\pi {\ln \left( {1 + \cos x} \right)dx} = \int_0^\pi {\ln \left( {2{{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \pi \ln 2 + 4\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\cos x} \right)dx} = \pi \ln 2 + 4K$$
Xét
$$\begin{gathered}
K = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\cos x} \right)dx} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin x} \right)dx} \Rightarrow 2K = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin x\cos x} \right)dx} \\
\Rightarrow K = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\frac{{\sin 2x}}{2}} \right)dx} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2}\int_0^\pi {\ln \left( {\sin x} \right)dx} - \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln 2} dx} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}M - \frac{{\pi \ln 2}}{2}} \right) \\
\end{gathered} $$
Xét
$M = \int_0^\pi {\ln \left( {\sin x} \right)dx} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin x} \right)dx} + \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\ln \left( {\sin x} \right)dx} = 2K$
Do đó ta có bổ đề đã được cm
Bây h ta sẽ tính tích phân đề bài cho
Xét tích phân sau
$$I\left( y \right) = \int_0^\pi {\ln \left( {y + \cos x} \right)dx} $$
Khi đó ta có
$$I'\left( y \right) = \int_0^\pi {\frac{{dx}}{{y + \cos x}}} = \frac{\pi }{{\sqrt {{y^2} - 1} }} \Rightarrow I\left( y \right) = \pi \ln \left( {y + \sqrt {{y^2} - 1} } \right) + C$$
Cho $y=1$ ta sẽ có
$$C = - \pi \ln 2 \Rightarrow I\left( y \right) = \pi \ln \left( {\frac{{y + \sqrt {{y^2} - 1} }}{2}} \right)$$