Chủ đề này có 3 trả lời

[Crystal]

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Descartes $Oxy$, cho các điểm $A(1;3),B(4;3)$. Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho góc $\widehat {MAB}$ có số đo bằng $135^0$ và khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $AB$ bằng $\frac{{\sqrt {10} }}{2}$.

Thử sức trước kì thi số 8 - THTT

[hoangtrong2305]

Giả sử toạ độ điểm $M(X;Y)$.

$\overrightarrow{AB}=(3;0)$

$\Rightarrow (AB):y-3=0$

Theo giả thiết, ta có điều sau:

$d[M;(AB)]=\frac{|Y-3|}{\sqrt{(-3)^{2}}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$

$d[M;(AB)]=|Y-3|=\frac{3\sqrt{10}}{2}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} d[M;(AB)]=Y-3=\frac{3\sqrt{10}}{2}\\ d[M;(AB)]=Y-3=-\frac{3\sqrt{10}}{2} \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} Y=\frac{6+3\sqrt{10}}{2}\\ Y=\frac{6-3\sqrt{10}}{2} \end{bmatrix}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;0)$

$\Rightarrow |AB|=3$



TH1: $Y=\frac{6+3\sqrt{10}}{2}$

$\overrightarrow{AM}=(X-1;\frac{3\sqrt{10}}{2})$

$\Rightarrow |AM|=\sqrt{(X+1)^{2}+\frac{45}{2}}$

$\overrightarrow{BM}=(X-4;\frac{3\sqrt{10}}{2})$

$\Rightarrow |BM|=\sqrt{(X-4)^{2}+\frac{45}{2}}$

Áp dụng định lý hàm $\cos$ trong $\Delta MAB$:

$\cos 135^{o}=\frac{AM^{2}+AB^{2}-MB^{2}}{2.AM.AB}$

$\cos 135^{o}=\frac{(X+1)^{2}+\frac{45}{2}+3^{2}-(X-4)^{2}-\frac{45}{2}}{2.\sqrt{(X+1)^{2}+\frac{45}{2}}.3}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5(2X-3)+3}{2.\sqrt{(X+1)^{2}+\frac{45}{2}}}$

$-\sqrt{2(X+1)^{2}+45}=5(2X-3)+3$

$\sqrt{2(X+1)^{2}+45}=12-10X$

$2(X+1)^{2}+45=144-240X+100X^{2}$

$2X^{2}+4X+2+45=144-240X+100X^{2}$

$98X^{2}-244X+97=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} {X=\frac{122+\sqrt{5378}}{98}\\ X=\frac{122-\sqrt{5378}}{98}} \end{bmatrix}$


TH2: $Y=\frac{6-3\sqrt{10}}{2}$

$\overrightarrow{AM}=(X-1;-\frac{3\sqrt{10}}{2})$

$\Rightarrow |AM|=\sqrt{(X+1)^{2}+\frac{45}{2}}$

$\overrightarrow{BM}=(X-4;-\frac{3\sqrt{10}}{2})$

$\Rightarrow |BM|=\sqrt{(X-4)^{2}+\frac{45}{2}}$

Áp dụng định lý hàm $\cos$ trong $\Delta MAB$:

$\cos 135^{o}=\frac{AM^{2}+AB^{2}-MB^{2}}{2.AM.AB}$


$\cos 135^{o}=\frac{(X+1)^{2}+\frac{45}{2}+3^{2}-(X-4)^{2}-\frac{45}{2}}{2.\sqrt{(X+1)^{2}+\frac{45}{2}}.3}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5(2X-3)+3}{2.\sqrt{(X+1)^{2}+\frac{45}{2}}}$

$-\sqrt{2(X+1)^{2}+45}=5(2X-3)+3$

$\sqrt{2(X+1)^{2}+45}=12-10X$

$2(X+1)^{2}+45=144-240X+100X^{2}$

$2X^{2}+4X+2+45=144-240X+100X^{2}$

$98X^{2}-244X+97=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} {X=\frac{122+\sqrt{5378}}{98}\\ X=\frac{122-\sqrt{5378}}{98}} \end{bmatrix}$

Vậy có $4$ điểm $M$ cần tìm:

$M_{1}(\frac{122+\sqrt{5378}}{98};\frac{6+3\sqrt{10}}{2})$

$M_{2}(\frac{122-\sqrt{5378}}{98};\frac{6+3\sqrt{10}}{2})$

$M_{3}(\frac{122+\sqrt{5378}}{98};\frac{6-3\sqrt{10}}{2})$

$M_{4}(\frac{122-\sqrt{5378}}{98};\frac{6-3\sqrt{10}}{2})$

[tra81]

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Descartes $Oxy$, cho các điểm $A(1;3),B(4;3)$. Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho góc $\widehat {MAB}$ có số đo bằng $135^0$ và khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $AB$ bằng $\frac{{\sqrt {10} }}{2}$.

Thử sức trước kì thi số 8 - THTT

Bạn post sai đề rồi, đã là đề thi Thử sức trước kì thi của THTT thì không có bài dễ kiểu này đâu

Chính chủ: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Descartes $Oxy$, cho các điểm A(1;2),B(4;3)
Tìm tọa độ điểm M sao cho góc $\widehat {MAB}$ có số đo bằng $135^0$ và khoảng cách từ M đến đường thẳng $AB$ bằng $\frac{{\sqrt {10} }}{2}$.

[tra81]

Giả sử toạ độ điểm $M(X;Y)$.
$\overrightarrow{AB}=(3;0)$
$\Rightarrow (AB):y-3=0$

Theo giả thiết, ta có điều sau:
$d[M;(AB)]=\frac{|Y-3|}{\sqrt{(-3)^{2}}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$
$d[M;(AB)]=|Y-3|=\frac{3\sqrt{10}}{2}$

Hình như công thức tính khoảng cách này không có