Chủ đề này có 3 trả lời

[Alexman113]

Chứng minh rằng $\forall n $ nguyên và $n \ge 1$ thì $$(1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1} > (1+\dfrac{1}{n})^{n}$$

[Crystal]

Chứng minh rằng $\forall n $ nguyên và $n \ge 1$ thì $$(1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1} > (1+\dfrac{1}{n})^{n}$$

Ta có: \[\frac{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{{n + 1}}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^n}}} = \frac{{{n^n}{{\left( {n + 2} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^n}{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}} = \frac{{n + 2}}{{n + 1}}{\left( {\frac{{{n^2} + 2n}}{{{n^2} + 2n + 1}}} \right)^n} = \frac{{n + 2}}{{n + 1}}{\left( {1 - \frac{1}{{{n^2} + 2n + 1}}} \right)^n}\]
Theo bất đẳng thức Bernoulli, suy ra:
\[\frac{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{{n + 1}}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^n}}} > \frac{{n + 2}}{{n + 1}}\left( {1 - \frac{n}{{{n^2} + 2n + 1}}} \right) = \frac{{n + 2}}{{n + 1}}\left( {\frac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^2} + 2n + 1}}} \right) > 1,\,\,\forall n \ge 1\]
Từ đó ta có đpcm.

[Ispectorgadget]

Chứng minh rằng $\forall n $ nguyên và $n \ge 1$ thì $$(1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1} > (1+\dfrac{1}{n})^{n}$$

Lấy logarit nepe 2 vế ta có $(1+n) ln(1+\frac{1}{n})<x+1ln(1+\frac{1}{n+1})\Leftrightarrow n[ln(n+1)-lnn]<(n+1)[ln(n+2)-ln(n+1)]$
Đặt $f(n)=n[ln(n+1)-ln\,n]$
Ta có $f'(n)=ln(1+n)-lnn+\frac{n}{n+1}-1=ln(n+1)-lnn-\frac{1}{n+1}$
Áp dụng định lý $Lagrage$ với hàm số $y=lnt$ trên $[n;n+1]$ thì tồn tại $c\in(n;n+1)$ sao cho $$f'( \,c)=ln(x+1)-lnx\Rightarrow \frac{1}{c}=ln(x+1)-lnx$$

Mà $0<n<c<n+1 \Rightarrow \frac{1}{n}>\frac{1}{c}>\frac{1}{n+1}$
$$\Rightarrow \frac{1}{n}>ln(n+1)-lnn>\frac{1}{n+1}\Rightarrow ln(n+1)-lnn-\frac{1}{n+1}>0$$
$\Rightarrow f'(n)>0, \, \forall x\in (0;+\infty )$ suy ra hàm số $f(n)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$
Suy ra $f(n+1)>f(n)\forall x\in (0;+\infty )$ suy ra Q.E.D

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

$(1+\frac{1}{n})^n=(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})...(1+\frac{1}{n}).1<(\frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1})^{n+1}=(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$