Chủ đề này có 1 trả lời

[Alexman113]

Cho hệ phương trình: $$\begin{cases} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x-2=0 \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+m=0\end{cases}.$$ Tìm $m$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm.

[tieulyly1995]

Cho hệ phương trình: $$\begin{cases} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x-2=0 \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+m=0\end{cases}.$$ Tìm $m$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm.

ĐKXĐ : $-1\leq x\leq 1 ; 0\leq y\leq 2$
Ta có : $x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x-2=0$
$\Leftrightarrow (x+1)^{3}- 3(x+1)^{2}= y^{3}- 3y^{2}$
Ta có hàm $f(t)= t^{3}-3t^{2}$ nghịch biến trên đoạn $\left [ 0;2 \right ]$ nên suy ra $y=x+1$
Thay $y=x+1$ vào PT $2$ :
$x^{2}-2\sqrt{1-x^{2}}+m=0$ ( )
Đặt $a=\sqrt{1-x^{2}}$ suy ra $a \epsilon \left [ 0;1 \right ]$
( ) trở thành : $a^{2}+2a-1=m$
Xét $f(a)=a^{2}+2a-1$ trên $ \left [ 0;1 \right ]$ suy ra $m\epsilon \left [ -1;2 \right ]$