1 reply to this topic

[cool hunter]

Cho a,b,c là các số dương t/m đẳng thức: $a^{2} +b^{2} -ab =c^{2}$. CMR: pt: $x^{2} -2x +(a-c)(b-c) =0$ có 2 nghiệm phân biệt.

*trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương năm học 2007-2008

[nguyenta98]

Cho a,b,c là các số dương t/m đẳng thức: $a^{2} +b^{2} -ab =c^{2}$. CMR: pt: $x^{2} -2x +(a-c)(b-c) =0$ có 2 nghiệm phân biệt.

*trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương năm học 2007-2008

Giải như sau:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta(\text{phảy})_x=1-(a-c)(b-c)>0$ $(1)$
TH1: $a \text{hoặc} b = c$ suy ra $(1)$ hiển nhiên
TH2: $a,b \neq c$ nên WLOG giả sử $a>b$ ($a=b$ không được do khi đó $a^2+b^2-ab=c^2 \Leftrightarrow a=b=c$ vô lý do ta gs $a,b\neq c$)
Do đó $a>b \Rightarrow a=b+k$ với $k>0$
Thay vào điều kiện ta có
$a^2+b^2-ab=c^2 \Rightarrow (b+k)^2+b^2-b(b+k)=c^2$
$\Rightarrow b^2+2bk+k^2+b^2-b^2-bk=c^2 \Rightarrow b^2+bk+k^2=c^2$
Vì $b,k>0$ nên $c^2=b^2+bk+k^2 \Rightarrow c^2>b^2 \Rightarrow c>b$ $(2)$
Mặt khác $b,k>0$ nên $c^2=b^2+bk+k^2<(b+k)^2=a^2 \Rightarrow c<a$ $(3)$
Từ $(2)(3) \Rightarrow (1)$ hiển nhiên đúng
Do đó $\Delta(\text{phảy})_x=1-(a-c)(b-c)>0$ là đúng với mọi TH nên ta có phương trình có 2 nghiệm phân biệt đpcm

Edited by nguyenta98, 13-06-2012 - 00:24.