Chủ đề này có 12 trả lời

[thoconlk]

Bài 1: (2 điểm)
1) Cho x,y là các số không âm. Chứng minh:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{x^{2}y}}+\sqrt{y+\sqrt[3]{y^{2}x}}=(\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}})^{3}$.
2) Cho a,b,c là các số phân biệt thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c} =c+\frac{2}{a}& \\ abc\neq 0& \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\left | abc \right |=2\sqrt{2}$.
Bài 2: (2,5 điểm)
1) GIải phương trình: $x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1=0$.
2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy-3x-2y=3 & \\ x^{2}+y^{2}-x-3y=38& \end{matrix}\right.$
Bài 3: (3 điểm) Cho tamgiác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các tiếp tuyến của đường tròn tại B,C cắt nhau ở T. Đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.
1) Chứng minh AB.CD=AC.BD
2) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh $\angle BAD=\angle CAM$.
Bài 4: (1,5 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) thoả mãn: (xy+7)²=$x^{2}+y^{2}$
2) Tìm n nguyên dương thoả mãn: $\frac{4.1}{4.1^{4}+1}+\frac{4.2}{4.2^{4}+1}+...+\frac{4n}{4n^{4}+1}=\frac{220}{221}$
Bài 5: (1 điểm) Có 2010 người xếp thành một vòng tròn, lúc đầu mỗi người cầm 1 chiếc kẹo. Mỗi bước chọn hai người có kẹo và thực hiện: Mỗi người chuyển 1 chiếc kẹo cho người bên cạnh (về bên trái hoặc phải). Sau hữu hạn bước có thể xảy ra trường hợp tất cả số kẹo chuyển về một người hay không?

[Ispectorgadget]

File PDF

File gửi kèm

•  DETHIL~1.pdf   115.32K   1215 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 13-06-2012 - 20:34

[hamdvk]

Bài 1
Đặt $\sqrt[3]{x}=a;\sqrt[3]{y}=b$
ta cần cm $\sqrt{a^{3}+{a^{2}b}}+\sqrt{b^{3}+{b^{2}a}}=(\sqrt{a+b})^{3}$
cái này dẽ cm được
Bài 2
1) Thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình chia cả hai cế của phương trình cho $x^{2}$ ta có
$x^{2}-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$ (*)
dặt $x+\frac{1}{x}=y$ phương trình (*) trở thành
$y^{2}-5y+6=0$
$\Leftrightarrow (y-2)(y-3)=0$
Nếu y=2 thì $x^{2}-2x+1=0\Leftrightarrow x=1$
Nếu y=3 thì $x^{2}-3x+1=0$
phương trình có tập nghiệm là $\left \{ \frac{3-\sqrt{5}}{2};1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right \}$
2)
Đặt xy=P; x+y=S
hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} P-3S+y=3\\ S^{2}-2P-S-2y=38 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow S^{2}-2P-S-2y+2P+6S+2y=38+6$
$\Leftrightarrow S^{2}-7S-44=0$
$\Leftrightarrow (S-11)(S+4)=0$
Nếu x+y =11thay x=11-y ta có nghiệm (x;y)=(5;6)
Néu x+y =-4 CMTT (x;y)=$\left ( \frac{-5-3\sqrt{5}}{2} ;\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}\right );\left ( \frac{-5+3\sqrt{5}}{2} ;\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}\right )$
---
mình sửa rồi đó !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hamdvk: 15-06-2012 - 08:13

[L Lawliet]

Bài 1: (2 điểm)
1) Cho x,y là các số không âm. Chứng minh:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{x^{2}y}}+\sqrt{y+\sqrt[3]{y^{2}x}}=(\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}})^{3}$.

Chém thử bài này:
Biến đổi $VT$:
$$VT=\sqrt{x+\sqrt[3]{x^2y}}+\sqrt{y+\sqrt[3]{y^2x}}$$
$$=\sqrt{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})}+\sqrt{\sqrt[3]{y}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})}$$
$$=\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}(\sqrt{\sqrt[3]{x}}+\sqrt{\sqrt[3]{y}})$$
$$=\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}(\sqrt[6]{x^2}+\sqrt[6]{y^2})$$
(Áp dụng tính chất: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m.n]{a}$)
$=\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=VP)$
___
Post chậm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 26-06-2012 - 16:26

[T M]

2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy-3x-2y=3 & \\ x^{2}+y^{2}-x-3y=38& \end{matrix}\right.$

Một lời giải khác

Đặt $ \left\{\begin{matrix}
x=u+5 & & \\y=v+6
& &
\end{matrix}\right. $

Phương trình trở thành

$\left\{\begin{matrix}
3(u+v)+uv=0 & & \\(u+v)^2+9(u+v)-2uv=0
& &
\end{matrix}\right.$

Đặt $ \left\{\begin{matrix}
u+v=S & & \\uv=P
& &
\end{matrix}\right.(S^2-4P\geq0)$

Hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}
3S+P=0 & & \\ S^2+9S-2P=0
& &
\end{matrix}\right.$

Hệ này đơn giản rồi !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 14-06-2012 - 20:35

[davildark]

2) Cho a,b,c là các số phân biệt thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c} =c+\frac{2}{a}& \\ abc\neq 0& \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\left | abc \right |=2\sqrt{2}$.

Đề thi PTNK HCM đây mà
$$(a-b)(b-c)(c-a)=(\frac{2}{c}-\frac{2}{b}).(\frac{2}{a}-\frac{2}{c}).(\frac{2}{b}-\frac{2}{a})=\frac{2.(b-c).2.(c-a).2(a-b)}{a^2.b^2.c^2}=\frac{8(a-b)(b-c)(c-a)}{a^2.b^2.c^2}$$
$$\Rightarrow {a^2.b^2.c^2}=8 \Rightarrow \left | abc \right |=2\sqrt{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 13-06-2012 - 21:03

[davildark]

Bài 5: (1 điểm) Có 2010 người xếp thành một vòng tròn, lúc đầu mỗi người cầm 1 chiếc kẹo. Mỗi bước chọn hai người có kẹo và thực hiện: Mỗi người chuyển 1 chiếc kẹo cho người bên cạnh (về bên trái hoặc phải). Sau hữu hạn bước có thể xảy ra trường hợp tất cả số kẹo chuyển về một người hay không?

Ta gọi 2010 người đó là các điểm . Tô màu các điểm xen kẽ nhau bằng 2 màu đen trắng
Nếu ta chọn 2 điểm cùng màu đen ( 2 điểm màu trắng làm tương tự ) để thực hiện thì số điểm màu trắng tăng lên 2 số điểm.đen giảm 2
Nếu chọn 2 điểm khác màu thì số điểm đen trắng không đổi
Ta thấy sau mỗi lần thực hiện thì số điểm tăng giảm là đều là số chẵn
Nếu như có số lần thõa mản đề bài thì số điểm trên các ô đều là số chẵn
Mà theo nhận xét kết hợp với việc mỗi người chỉ cầm 1 viên kẹo thì ta thấy số kẹo không thể là số chẵn
Vậy không thể thực hiện được trường hợp tất cả số kẹo chuyển về một người

[hamdvk]

Bài 4
1) Dặt x+y =S; xy =P phương trình trở thành
$(P+7)^{2}=S^{2}-2P \Leftrightarrow (P+8)^{2}=S^{2}+15$
$\Leftrightarrow (P+S+8)(P-S+8)=15$
vì x, y tự nhiên nên S,P tự nhiên có P+S+8 >7
$\Rightarrow P+8-S> 0\Rightarrow P+S+8> P+8-S> 0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} P+S+8=15\\ P-S+8=1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} P+S=7\\ S-P=7 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} P=0\\ S=7 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy=0\\ x+y=7 \end{matrix}\right.$
vậy phương trình có hai nghiệm (x;y)=(0;7);(7;0)
2)
Sử dụng
$\frac{4n}{4n^{4}+1}=\frac{(2n^{2}+2n+1)-(2n^{2}-2n+1)}{(2n^{2}+2n+1)(2n^{2}-2n+1)}$
$=\frac{1}{(2n^{2}-2n+1)}-\frac{1}{(2n^{2}+2n+1)}$
$=\frac{1}{2(n-1)n+1}-\frac{1}{2n(n+1)+1}$
khử liên tiếp suy ra n=10
--
bài này thi khtn rồi thì phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hamdvk: 13-06-2012 - 21:23

[thoconlk]

Bài 1
Đặt $\sqrt[3]{x}=a;\sqrt[3]{y}=b$
ta cần cm $\sqrt{a^{3}+{a^{2}b}}+\sqrt{b^{3}+{b^{2}a}}=(\sqrt{a+b})^{3}$
cái này dẽ cm được
Bài 2
1) Thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình chia cả hai cế của phương trình cho $x^{2}$ ta có
$x^{2}-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$ (*)
dặt $x+\frac{1}{x}=y$ phương trình (*) trở thành
$y^{2}-5y+6=0$
$\Leftrightarrow (y-2)(y-3)=0$
Nếu y=2 thì $x^{2}-2x+1=0\Leftrightarrow x=1$
Nếu y=3 thì $x^{2}-3x+1=0$
phương trình có tập nghiệm là $\left \{ \frac{3-\sqrt{5}}{2};1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right \}$
2)
Đặt xy=P; x+y=S
hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} P-3S+y=3\\ S^{2}-2P-S-2y=38 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow S^{2}-2P-S-2y+2P+6S+2y=38+6$
$\Leftrightarrow S^{2}-7S-44=0$
$\Leftrightarrow (S-11)(S+4)=0$
Nếu x+y =11thay x=11-y ta có nghiệm (x;y)=(5;6)
Néu x+y =-4 CMTT (x;y)=$\left ( \frac{-5-4\sqrt{5}}{2} ;\frac{-3+4\sqrt{5}}{2}\right );\left ( \frac{-5+4\sqrt{5}}{2} ;\frac{-3-4\sqrt{5}}{2}\right )$

bạn ơi nghiệm ở phần x+y=-4 sai rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoconlk: 14-06-2012 - 19:55

[rasefan123]

Nếu như có số lần thõa mản đề bài thì số điểm trên các ô đều là số chẵn
--> Bạn giải thích câu này rõ hơn được không?

[rasefan123]

Bài 5: (1 điểm) Có 2010 người xếp thành một vòng tròn, lúc đầu mỗi người cầm 1 chiếc kẹo. Mỗi bước chọn hai người có kẹo và thực hiện: Mỗi người chuyển 1 chiếc kẹo cho người bên cạnh (về bên trái hoặc phải). Sau hữu hạn bước có thể xảy ra trường hợp tất cả số kẹo chuyển về một người hay không?

Mình xin đưa ra một cách giải đơn giản:
1, Đánh số cho 2010 vị trí từ 1 đến 2010
2, Gọi C là tổng số kẹo ở vị trí chẵn, L là tổng số kẹo ở vị trí lẻ. Theo bài ra thì C=L=1005 -> ban đầu là 1 số lẻ. Tất cả số kẹo chuyển về 1 chỗ -> C=2010 hoặc L=2010
3, Khi ta chuyển kẹo ở 1 vị trí chẵn sẽ làm cho số kẹo ở 1 vị trí lẻ tăng lên 1 và ngược lại. Xét các trường hợp chuyển kẹo ở các vị trí sau:
- TH1: Vị trí lẻ+lẻ sẽ làm tăng tổng số kẹo ở các vị trí chẵn lên 2 -> C tăng 2, L giảm 2
- TH2: Vị trí chẵn+chẵn sẽ làm tăng tổng số kẹo ở các vị trí lẻ lên 2 -> L tăng 2, C giảm 2
- TH3: Vị trí chẵn+lẽ sẽ làm: L tăng 1 và giảm 1 -> L không đổi, C không đổi.
Qua 3 trường hợp trên ta thấy C và L luôn luôn là 1 số lẻ sau 1 số lần hữu hạn chuyển kẹo -> luôn luôn tồn tại 2 vị trí mà ở đó có ít nhất 1 kẹo. Vậy không thể chuyển tất cả kẹo về một người được.
p/s: Cách này chỉ giải được đối với những bài mà số kẹo chia hết cho 2 mà k chia hết cho 4, hy vọng sẽ có "cao thủ" đưa ra cách giải tổng quát hơn và đẹp hơn

[dohuuthieu]

Bài 3:
1) Dễ chứng minh vì ABDC là tứ giác điều hòa
2)Gọi E là giao điểm của AM với (O) ,vẽ AK song song với BC thì A và K đối xứng với nhau qua OT
Dễ chứng minh K,E,T thẳng hàng
Suy ra $\widehat{CAM}=\widehat{CKE}$ mà $\widehat{CKE}=\widehat{BAD}$(tc đối xứng)
Suy ra $\angle BAD=\angle CAM$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dohuuthieu: 15-06-2012 - 22:16

[0132345]

Bài 3: (3 điểm) Cho tamgiác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các tiếp tuyến của đường tròn tại B,C cắt nhau ở T. Đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.
1) Chứng minh AB.CD=AC.BD
2) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh $\angle BAD=\angle CAM$.
 câu 1:  1.▲BDT ĐỒNG DẠNG VS ▲ABT(gg)=> BD/AB=BT/AT=>AB/BD=AT/CT(1)

              ▲ACT ĐỒNG DẠNG ▲CDT (gg) => AC/CD=AT/CT(2)

Từ (1) và (2)=> AB/BD=AC/CD0=>ĐPCM