Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chuyên Tin Lam Sơn 2012-2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1
sherry Ai

sherry Ai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho $a=x+\frac{1}{x},b=y+\frac{1}{y},c=xy+\frac{1}{xy}$ với x, y là các số thực dương thỏa mãn $xy\neq 0$. Chứng minh biểu thức: $A=a^{2}+b^{2}+c^{2}-abc$ không phụ thuộc vào x, y.
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Cho phương trình $x^{2}-(2m+1))x+m^{2}+m-6=0$ với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1}^{3}-x_{2}^{3}|=35$.
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{3x+2y}=-1& & \\ \sqrt{x+y}+x-y=0& & \end{matrix}\right.$
Câu 3:(2,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $y^{3}=1+x+x^{2}+x^{3}$
Câu 4:(3,0 điểm)
CHo tam giác ABC nhọn, AK là đường cao, trực tâm H. Gọi I là trung điểm BC. đường tròn đường kính BC và đường tròn đường kính AI cắt nhau tại 2 điểm phân biệt E và F. CHứng minh rằng:
a) KA là phân giác trong của $\widehat{EKF}$
b) Đường trong đi qua 3 điểm E, K, H tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
c) BA điểm E,H,F thẳng hàng.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điểu kiện : x+y=1.
Tìm Min: $P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

#2
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
Câu 1 đơn giản quá rồi mình thế trực tiếp và và rút gọn đi thôi
$a^2 +b^2 +c^2 -abc = x^{2}y^2 +\frac{1}{x^2y^2} + 2 + x^2 + y^2 +\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + (xy+\frac{1}{xy})(xy+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$
đến đây nhân tiếp vô nhé

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#3
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
3)$x^{3}\leq 1+x+x^{2}+x^{3}\leq (x+1)^{3}$
$\Rightarrow x^{3}\leq y^{3}\leq (x+1)^{3}$
nếu x=y $\Rightarrow$ vô nghiệm
nếu $y^{3}=(x+1)^{3}$
$\Leftrightarrow 2x^{2}+2x=0$
Vậy nghiệm pt là (0;1);(-1;0)

#4
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

Câu 5: (1,0 điểm)
Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điểu kiện : x+y=1.
Tìm Min: $P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

Câu BĐT dễ thở :)
SOLUTION:

$ĐK: 0<x,y<1$
- Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 2 số, ta có:
$$P=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}+\frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{y(1-y)}}\ge \frac{x\sqrt{x}}{\frac{x+1-x}{2}}+\frac{y\sqrt{y}}{\frac{y+1-y}{2}}=2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})\ \ (*)$$
Mặt khác, áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 3 số, ta có:
$$x\sqrt{x}+x\sqrt{x}+\frac{\sqrt{2}}{4}\ge 3\sqrt[3]{x\sqrt{x}.x\sqrt{x}.\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}x$$
$$y\sqrt{y}+y\sqrt{y}+\frac{\sqrt{2}}{4}\ge 3\sqrt[3]{y\sqrt{y}.y\sqrt{y}.\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}y$$
-Cộng vế với vế của 2 BĐT cùng chiều trên, ta có:
$$2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})+\frac{\sqrt{2}}{2}\ge \frac{3\sqrt{2}}{2}(x+y)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\\Rightarrow 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})\ge \sqrt{2}
\ \ (**)$$
-Kết hợp $(*)$ và $(**)$ suy ra:
$$P\ge \sqrt{2} \ (const)$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#5
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
Chém tiếp 2a:
Pt có 2 nghiệm x1,x2 $\Leftrightarrow 4m^2 +4m +1 -4m^2 - 4m + 24 = 25 > 0$
vậy pt có 2 nghiệm phân biệt $x= \frac{2m+1+5}{2}=m+3$
hay $x= \frac{2m+1-5}{2}= m-2$
do vai trò $x_1,x_2$ như nhau nên không mất tính tổng quát giải sử $x_1=m+3,x_2=m-2$
ta có : $\left | x_{1}^3 -x_{2}^3 \right |=35$
$\Leftrightarrow \left | (m+3)^3-(m-2)^3) \right |=35$
$\Leftrightarrow \left | 15m^2+15m+35 \right | = 35$
chứng minh được $15m^2 + 15m +35 > 0$
vậy $15m^2 + 15m + 35 = 35$
$\Leftrightarrow m=0$ hay $m=-1$

chém cực trị luôn nhé :
mình cũng có ý tưởng giống bạn kia nhưng mình không xài cauchy ba số:
$P \geq 2(x\sqrt{x} + y\sqrt{y})$
$\sqrt{x}(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 \geq 0$
$\Rightarrow x\sqrt{x} \geq \sqrt{2}x -\frac{1}{2}\sqrt{x}$
tương tự: $y\sqrt{y} \geq \sqrt{2}y - \frac{1}{2}\sqrt{y}$
cộng lại kết hợp với $x+y=1$ và $\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq \sqrt{2(x+y)} = \sqrt{2}$
ta có $2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}) \geq \sqrt{2}$
vậy $P \geq \sqrt{2}$
Dấu = cũng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-06-2012 - 14:42

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#6
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
CHuyên tin Lam Sơn Thanh Hóa cũng không quá nặng nhỉ

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#7
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
4a) Dễ c/m AE=AF $\Rightarrow$ dpcm
b) $\widehat{AEI}=90^{\circ}$
$\Rightarrow$ AE là tiếp tuyến (I) (1)
$\Rightarrow$ $AE^{2}=AM.AC=AH.AK$
$\Rightarrow$ $\widehat{AEH}=\widehat{AKE}=\widehat{AKF}=\widehat{AEF}$
Vậy AE là tiếp tuyến (HEK) (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ 2 đường tròn tiếp xúc
c) ta có $\widehat{AEH}=\widehat{AKE}=\widehat{AKF}=\widehat{AEF}$
$\Rightarrow$ dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 19-06-2012 - 11:12


#8
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
chém luôn bài hình, không biết vẽ hình trên đây nên mong mọi người thông cảm:
a/ chứng minh được AE,AF là 2 tiếp tuyến của (I) nên AE=AF, vậy cung = cung AF của đường tròn đường kính AI.
$\angle AKI =90^{0}$
$\Rightarrow AEKIF$ nội tiếp đường tròn đường kính AI
$\Rightarrow \angle AKE = \angle AKF \Rightarrow$ đpcm
b/ Gọi M là giao điểm AM với (I) $\Rightarrow C,H,M$ thẳng hàng $\Rightarrow$ HM vuông góc AB tại M.chứng minh được:
$AE^2=AM.AB=AH.AK$
$\Rightarrow \vartriangle AEH \sim \vartriangle AKE(c.g.c)$
$\Rightarrow\angle AEH = \angle AKE$
$\Rightarrow AE$ là tiếp tuyến của (HEK)
$\Rightarrow$ đpcm (TE,IE cùng vuông góc AE tại E)
c/cm tren $\angle AEH = \angle AKE$
Mà $\angle AEF = \angle AKE$ ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung = nhau)
$\Rightarrow \angle AEF = \angle AEH$
$\Rightarrow$ 2 tia HE, HF trùng nhau hay E,H,F thẳng hàng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 21-06-2012 - 17:05

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#9
Nhóc shiho

Nhóc shiho

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
Cho mình hỏi là chuyên Tin riêng, chuyên Toán riêng hả các bạn

#10
tkvn97

tkvn97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 381 Bài viết

Câu BĐT dễ thở :)
SOLUTION:

$ĐK: 0<x,y<1$
- Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 2 số, ta có:
$$P=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}+\frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{y(1-y)}}\ge \frac{x\sqrt{x}}{\frac{x+1-x}{2}}+\frac{y\sqrt{y}}{\frac{y+1-y}{2}}=2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})\ \ (*)$$
Mặt khác, áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 3 số, ta có:
$$x\sqrt{x}+x\sqrt{x}+\frac{\sqrt{2}}{4}\ge 3\sqrt[3]{x\sqrt{x}.x\sqrt{x}.\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}x$$
$$y\sqrt{y}+y\sqrt{y}+\frac{\sqrt{2}}{4}\ge 3\sqrt[3]{y\sqrt{y}.y\sqrt{y}.\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}y$$
-Cộng vế với vế của 2 BĐT cùng chiều trên, ta có:
$$2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})+\frac{\sqrt{2}}{2}\ge \frac{3\sqrt{2}}{2}(x+y)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\\Rightarrow 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})\ge \sqrt{2}
\ \ (**)$$
-Kết hợp $(*)$ và $(**)$ suy ra:
$$P\ge \sqrt{2} \ (const)$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$


Cách khác nhé :
Ta có $\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{-(1-x)+1}{\sqrt{1-x}}+\frac{-(1-y)+y}{\sqrt{1-y}}=-(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y})+(\frac{1}{\sqrt{1-x}}+\frac{1}{\sqrt{1-y}})$
Ta có $-(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y})\geq \sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{1-x}}+\frac{1}{\sqrt{1-y}}\geqslant \frac{4}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}}\geqslant 2\sqrt{2}$
=> P$\geq \sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1/2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 20-06-2012 - 18:13

- tkvn 97-


#11
tkvn97

tkvn97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 381 Bài viết
Đề chuyên toán Lam sơn- THanh Hóa năm nay dễ thở :
Câu 1 (2 điểm)
Cho $a=x+\frac{1}{x}$ ; b= $y+\frac{1}{y}$ và c = $xy+\frac{1}{xy}$ với các số thực x, y thõa mãn $xy\neq 0$
Tính giá tri biểu thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}-abc$.
Câu 2. (2 điểm) Cho phương trình $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)=mx^{2}$ ( m là tham số)
Giả sử m nhận các giá trị sao cho phương trình có bốn nghiệm $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ đều khác 0. Chứng minh rằng giá trị biểu thức $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+\frac{1}{x_{4}}$ không phụ thuộc vào m .
Câu 3 ( 2 điểm)
Tìm số nguyên dương n sao cho $\frac{n(2n-1)}{26}$ là số chính phương .
Câu 4. (3 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi (I) , (K) lần lượt là các đường tròn nội tiếp các tam giác ABH , AHC . Đường thẳng KI cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N .
a) Chứng minh $\frac{HI}{HK}=\frac{HB}{HA}$.
b) Chứng minh rằng AM = AN .
2) Cho tam giác nhọn ABC , D là điểm trên cạnh AB $(D\neq A, B )$, trung tuyến AM cắt CD tại E .
Chứng minh rằng nếu $\widehat{DBM}+\widehat{DEM }=180^{0}$ thì $BC< AC\sqrt{2}$
Câu 5 (1 điểm)
Cho x, y là các só thực thay đổi thõa mãn $x> 1, y>1$ và $x+y\leq 4$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x^{4}}{(y-1)^{3}}+\frac{y^{4}}{(x-1)^{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 20-06-2012 - 18:14

- tkvn 97-


#12
tkvn97

tkvn97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 381 Bài viết
Minh pót sai một chỗ ở bài chốt chuyên tin là lớn hơn hoaawcj bằng $-\sqrt{2}$

- tkvn 97-


#13
vubac

vubac

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
Câu cuối chuyên tin:

$\frac{x}{{\sqrt y }} + \frac{y}{{\sqrt x }} \ge \frac{{{{(x + y)}^2}}}{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} \ge \frac{{{{(x + y)}^2}}}{{\frac{{x + y}}{2}\sqrt {2(x + y)} }} = \sqrt 2$

Cách khác:

$B = {\left( {\frac{x}{{\sqrt y }} + \frac{y}{{\sqrt x }}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{y} + \sqrt {xy} + \sqrt {xy} + \frac{{{y^2}}}{x} + \sqrt {xy} + \sqrt {xy} - 2\sqrt {xy}$

$\ge 3x + 3y - 2\sqrt {xy} \ge 2x + 2y = 2$

#14
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết

Câu 2: (2,0 điểm)
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{3x+2y}=-1& & \\ \sqrt{x+y}+x-y=0& & \end{matrix}\right.$

Từ phương trình đầu ta được:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {x + y} + 1 = \sqrt {3x + 2y} \\
\Leftrightarrow x + y + 1 + 2\sqrt {x + y} = 3x + 2y \\
\end{array}\]
Thế phương trình hai vào biểu thức trên, ta được:
\[y = 4x - 1\]
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
\[\sqrt {5x - 1} = 3x - 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = 3 \\
x = \frac{2}{9} \Rightarrow y = - \frac{1}{9} \\
\end{array} \right.\]
Thử lại được nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 20-06-2012 - 21:57

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#15
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết

Câu 5 (1 điểm)
Cho x, y là các só thực thay đổi thõa mãn $x> 1, y>1$ và $x+y\leq 4$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x^{4}}{(y-1)^{3}}+\frac{y^{4}}{(x-1)^{3}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^3}}} + 48\left( {y - 1} \right) \ge 32x \\
\frac{{{y^4}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + 48\left( {x - 1} \right) \ge 32y \\
\end{array} \right. \Rightarrow P \ge 96 - 16\left( {x + y} \right) \ge 32\]

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#16
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

chém luôn bài hình, không biết vẽ hình trên đây nên mong mọi người thông cảm:
a/ chứng minh được AE,AF là 2 tiếp tuyến của (I) nên AE=AF, vậy cung = cung AF của đường tròn đường kính AI.
$\angle AKI =90^{0}$
$\Rightarrow AEKIF$ nội tiếp đường tròn đường kính AI
$\Rightarrow \angle AKE = \angle AKF \Rightarrow$ đpcm
b/ Gọi M là giao điểm AM với (I) $\Rightarrow C,H,M$ thẳng hàng $\Rightarrow$ HM vuông góc A tại M.chứng minh được:
$AE^2=AM.AB=AH.AK$
$\Rightarrow \vartriangle AEH \sim \vartriangle AKE(c.g.c)$
$\Rightarrow\angle AEH = \angle AKE$
$\Rightarrow AE$ là tiếp tuyến của (HEK)
$\Rightarrow$ đpcm (TE,IE cùng vuông góc AE tại E)
c/cm tren $\angle AEH = \angle AKE$
Mà $\angle AEF = \angle AKE$ ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung = nhau)
$\Rightarrow \angle AEF = \angle AEH$
$\Rightarrow$ 2 tia HE, HF trùng nhau hay E,H,F thẳng hàng

Sao $HM$ vuông góc $A$ tại $M$ được bạn? Nghĩa là gì vậy?

Thích ngủ.


#17
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết

Sao $HM$ vuông góc $A$ tại $M$ được bạn? Nghĩa là gì vậy?

sr nha AB mới đúng đánh nhầm

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh