CMR: khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vị trí 2 điểm M, N.
#2
Đã gửi 20-07-2013 - 20:06
Cho đoạn thẳng AB, 2 điểm M, N nằm trên đoạn thẳng sao cho M nằm giữa A và N. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác đều AMD, MNE, BNF. Gọi G là trọng tâm tam giác DEF. CMR: khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vị trí 2 điểm M, N.
Lời giải.
Lấy $I$ trung điểm $DE$, $O$ là trung điểm $GF$.
Lấy $D',I',H,E',O',F'$ lần lượt là hình chiếu của $D,I,G,E,O,F$ trên $AB$.
$\blacktriangleright$ Hình thang $DD'E'E$ có $II'$ là đường trung bình nên $II'= \frac{DD'+EE'}{2} \qquad (1)$.
$\blacktriangleright$ Hình thang $II'O'O$ có $GH$ là đường trung bình nên $2GH= II'+OO' \qquad (2)$.
Lại có $OO'$ là đường trung bình của hình thang $GHF'F$ nên $OO'= \frac{GH+FF'}{2} \qquad (3)$.
Từ $(1),(2)$ và $(3)$ ta suy ra $3GH= DD'+EE'+FF'$.
Vì $DAM,MNE,NBF$ đều là các tam giác đều nên $DD'= \frac{ \sqrt 3}{2} AM , \; EE'= \frac{ \sqrt 3}{2} MN, \; FF'= \frac{ \sqrt 3}{2} NB$.
Do đó $GH= \frac{AB}{2 \sqrt 3}$, không phụ thuộc vào $M,N$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh