Chủ đề này có 7 trả lời

[Lnmn179]

thời gian 150 phút

Môn TOÁN chuyên

Bài 1: Cho biểu thức:
M = $(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3b}(a-b)} + \frac{a+b\sqrt{3}}{b\sqrt{3a}(a-b)})\cdot (\frac{\sqrt{a^{3}b}-\sqrt{ab^{3}}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}})$
1. Tìm điều kiện của a,b để M xác định và rút gọn M.
2. Tính giá trị của M khi a = $\sqrt{5}-2$, b = $\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}$
Bài 2:Cho phương trình $x^{4}-2(m^{2}+3)x^{2}+m^{4}+5 =0$ (m là thamsố)
1. Chứng minh rằng phương trình có 4 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$với mọi m thuộc $\mathbb{R}$
2. Xác định m để $2x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$ - ($x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$) = 28
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$x^{3}-x^{2}y+3x-2y-5=0$
Bài 4: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Một đường thẳng (d) thay đổi đi qua A, cắt (O) tại điểm thứ hai là E, cắt tiếp tuyến kẻ từ B và C của đường tròn (O) lần lượt tại M và N sao cho A,M,N nằm về 1 nửa mặt phẳng bờ BC. Gọi giao điểm thứ 2 của đường thẳng MC và BN là F. CMR:
1. $\Delta MBA$ đồng dạng với $\Delta ACN$ và tích MB$\cdot$CN không đổi.
2. BMEF là tứ giác nội tiếp.
3. Đường thẳng EF luôn đi qua 1 điểm cố định khi (d) thay đổi.
Bài 5:
Cho 4 số thực a,b,c,d thoả mãn ad-bc=$\sqrt{3}$
CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd \geq 3$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

( Thi ngày 24/6 nhưng máy mình hỏng nên hôm nay mới post đc)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lnmn179: 25-06-2012 - 17:04

[ducthinh26032011]

thời gian 150 phút

Môn TOÁN chuyên

Bài 5:
Cho 4 số thực a,b,c,d thoả mãn ad-bc=$\sqrt{3}$
CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd \geq 3$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

( Thi ngày 24/6 nhưng máy mình hỏng nên hôm nay mới post đc)

Ta có:$(ad-bc)^{2}+(ac+bd)^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$
$\Leftrightarrow 3+(ac+bd)^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}=2\sqrt{3+(ac+bd)^{2}}$
Vậy $VT=2\sqrt{3+(ac+bd)^{2}}+ac+bd$
Đặt $ac+bd=x$
$-x\leq \left | x \right |=\sqrt{x^{2}}< 2\sqrt{3+x^{2}}$
Suy ra $VT> 0$
$VT^{2}=4(3+x^{2})+4x\sqrt{3+x^{2}}+x^{2}=4x^{2}+4x\sqrt{3+x^{2}}+3+x^{2}+9=(2x+\sqrt{3+x^{2}})^{2}+9\geq 9$
$\Rightarrow VT\geq 3$
P/s:Các bạn tìm hộ mình dấu "=" xảy ra khi nào nhé.

[ducthinh26032011]

1)a)Điều kiện $ a#b#0$
Bạn tự tính nhé,kết quả:$M=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{3b}}{\sqrt{3b}}$ (k chắc đúng k )
b)$M=\sqrt{\frac{a}{3b}}+1=\sqrt{5}-1$

[ninhxa]

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$x^{3}-x^{2}y+3x-2y-5=0$

-Pt tương đương với:
$(x-y)(x^2+2)=5-x$
$\Leftrightarrow y=x-\frac{5-x}{x^2+2}$
-Vì x,y là số nguyên nên:$\frac{5-x}{x^2+2}\in Z$
$\Rightarrow x^2+2|5-x$
$\Rightarrow x^2+2|(5-x)(5+x)$
$\Rightarrow x^2+2|27-(x^2+2)$
$\Rightarrow x^2+2|27$
-Thấy $x^2+2$chia 4 dư 2 hoặc 3 nên $x^2+2\in\left \{ 9,27 \right \}\Rightarrow x\in\left \{ \pm 1;\pm 5 \right \}$
-Thay vào tìm y ta đc các bộ (x,y) thỏa mãn là:
(-1;3) ; (5;5)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 25-06-2012 - 22:07

[Lnmn179]

P/s:Các bạn tìm hộ mình dấu "=" xảy ra khi nào nhé.

Theo mình nghĩ thì là: a=0, b=$\sqrt{2}$, c= $-\sqrt{\frac{3}{2}}$, d= $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

[Katyusha]

Mình xin làm câu a và b bài hình

a.Ta có $CA \Vert BM \Rightarrow \angle CAN = \angle BMA$. Mặt khác $\angle ABM = \angle ACN = 60^o$ $\Rightarrow \Delta BMA \sim \Delta CAN$.
$\Rightarrow \dfrac{BM}{CA}=\dfrac{BA}{CN} \Rightarrow BM.CN=BA.CA=const$

b. Gọi $H=(O) \cap BF$, $K=(O) \cap CF$.
Từ $\dfrac{BM}{CA}=\dfrac{BA}{CN} \Rightarrow \frac{BM}{BC}=\dfrac{BC}{CN} \Rightarrow \Delta BCN \sim \Delta MBC \Rightarrow \angle BMC = \angle CBN$ Từ đó suy ra cung $CH$ $=$ cung $AK$
Ta có:
$\angle FMA =\dfrac{1}{2}(\widehat{CE} - \widehat{AK}) = \dfrac{1}{2}(\widehat{CE} - \widehat{CM})=\dfrac{1}{2}\widehat{HE}=\angle HBE$. Vậy $BMEF$ nội tiếp.

//-------------

Mọi người giúp mình câu c với

[perfectstrong]

Bài 4.3:

Gọi $(J)$ đi qua $M,E,F,B$. Gọi $(K)$ đi qua $E,N,C,F$.
Vẽ $FE$ cắt $BC$ tại $D$.
$\angle FBC=\angle FEB \Rightarrow BC$ là tiếp tuyến của $(J)$.
Tương tự, $BC$ cũng là tiếp tuyến của $(K)$.
Ta có $DB^2=DF.DE=DC^2 \Rightarrow DB=DC \Rightarrow D$ là trung điểm $BC$: cố định.

[N H Tu prince]

Bài 2:Cho phương trình $x^{4}-2(m^{2}+3)x^{2}+m^{4}+5 =0$ (m là thamsố)
1. Chứng minh rằng phương trình có 4 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$với mọi m thuộc $\mathbb{R}$
2. Xác định m để $2x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$ - ($x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$) = 28

a)Đặt $t=x^2$, pt trở thành$t^2-2(m^2+3)t+m^4+5=0$
xét$\delta'=6m^2+4\geqslant 0$
$t_1+t_2=2(m^2+3)\geqslant 0$
$t_1t_2=m^4+5\geqslant0$
=>$t_1,t_2\geqslant0$, pt có 4 nghiệm phân biệt
b)$x_1x_2=t_1,x_3x_4=t_2,x_1^2=x_2^2=t_1,x_3^2=x_4^2=t_2$
$2x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$ - ($x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$) = 28
$=>2t_1t_2-2(t_1+t_2)=28$
...
=>$m=5$ hoặc $m=-3$