Chủ đề này có 1 trả lời

[thien than cua gio]

CMR:Số được thành lập bởi $3^{n}$ chữ số giống nhau thì chia hết cho $3^{n}$ $\left ( n\epsilon N \right )$

[nguyenta98]

CMR:Số được thành lập bởi $3^{n}$ chữ số giống nhau thì chia hết cho $3^{n}$ $\left ( n\epsilon N \right )$

Giải như sau:
Gọi số đó là $X=\overline{aaa...aa}(\text{3^n số a})$
Suy ra $X=a.11...1=a.\dfrac{10^{3^n}-1}{9}$
Ta sẽ chứng minh $\dfrac{10^{3^n}-1}{9} \vdots 3^{n} \leftrightarrow 10^{3^n}-1 \vdots 3^{n+2}$
Đến đây ta có 2 cách
Method 1:
Giả sử $n=k$ đúng hay $10^{3^k}-1 \vdots 3^{k+2}$
Ta sẽ cm $n=k+1$ đúng hay $10^{3^{k+1}}-1 \vdots 3^{k+3}$
Thật vậy ta có $10^{3^{k+1}}-1=(10^{3^k}-1)(10^{2.3^k}+10^{3^k}+1)$
Dễ thấy $10 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow 10^{2.3^k}+10^{3^k}+1 \vdots 3$ mà từ GTQN có $10^{3^k}-1 \vdots 3^{k+2}$
Nên suy ra $10^{3^{k+1}}-1=(10^{3^k}-1)(10^{2.3^k}+10^{3^k}+1) \vdots 3^{k+3} \rightarrow Q.E.D$
Method 2: ta có thể làm theo phương pháp phi hàm Euler nhưng cách này hơi cao, post ở đây không phù hợp

P/S: nguyenta98 gần quay trở lại ) =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 27-06-2012 - 00:15