SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 27/06/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)____________________________________
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1. (2 điểm)1. Với $x>2$, rút gọn biểu thức $A(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}+(x^{2}-4)\sqrt{x^{2}-1}-4}{x^{3}-3x^{2}+(x^{2}-4)\sqrt{x^{2}-1}+4}$.
2. Cho $(x,y)$ là nghiệm của phương trình:
$x^{2}y+2xy-4x+y=0$
Tìm GTLN của $y$.
Câu 2. (1,5 điểm) Cho biểu thức:
$P=\frac{1}{3+2a+b+ab}+\frac{1}{3+2b+c+bc}+\frac{1}{3+2c+a+ac}$.
với $a,b,c$ là các số thực làm cho $P$ xác định và thoả mãn điều kiện: $a+b+c+ab+bc+ac+abc=0$. Chứng minh rằng $P=1$.
Câu 3. (2,5 điểm)
1. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}xy(x^{2}+y^{2})=2 & \\ 2x^{5}=(x+y)(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}-2) & \end{matrix}\right.$
2. Với $x,y$ là các số thực dương, tìm GTNN của:
$Q=(3+\frac{1}{x})(3+\frac{1}{y})(2+x+y)$
Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, bán kính $R$. Kẻ các đường cao $AA',BB',CC'$. Gọi $S$ và $S'$ lần lượt là diện tích của tam giác $ABC$ và $A'B'C'$.
1. Chứng minh: $AO$ vuông góc với $B'C'$.
2. Chứng minh: $S=\frac{1}{2}P.R$ (với P là chu vi tam giác $A'B'C'$).
3. Chứng minh: $cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C=1-\frac{S'}{S}$.
Câu 5. (1 điểm) Trên một đường tròn ta viết theo chiều kim đồng hồ $2$ số $1$ và $48$ số $0$ theo thứ tự $1,0,1,0...0$. Ta được phép biến đổi các số trên đường tròn như sau: tại mỗi bước chọn hai số bất kì nằm liền kề nhau, giả sử là $x$ và $y$ rồi thay $x$ bởi $(x+1)$ và thay $y$ bởi $(y+1)$.
Chứng minh rằng không thể thu được một dãy $50$ số bằng nhau sau một hữu hạn các phép biến đổi như trên.
HẾT
___________________
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 27-06-2012 - 22:02