Đề thi tuyển sinh chuyên Thăng Long Đà Lạt 2012
#1
Đã gửi 29-06-2012 - 11:57
Câu 1.(1,5) Cho hàm số $y=(m^2-2m+3)x^2$, chứng minh hàm số luôn nghịch biến khi x<0
Câu 2.(2) Rút gọn $A=\sqrt{(x^2-3)^2+12x^2}-\sqrt{(x+5)^2-20x}$
Câu 3.(1,5) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết $sinB=\frac{3}{4}sinC$, tính CosC
Câu 4.(2) Tính $A=\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+...+\frac{1}{120}$
Câu 5(1,5). Giải phương trình $\frac{x^2}{4}+\frac{1}{x^2}=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$
Câu 6.(1,5) Cho tam giác ABC$(AB<AC)$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), vẽ đường cao AH. CMR:$\angle HAO$+$\angle ACB$=$\angle ABC$
Câu 7.(2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
& \\ x^2+y^2+xy=37
& x+y+xy=19
\end{matrix}\right.$
Câu 8.(1,5) cho x,y là hai số dương thỏa: $x^3+y^3=x-y$.CM $x^2+y^2<1$
Câu 9.(1,5) Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên m,n sao cho
$\frac{1}{4}(m-n)(m+n)[1+(-1)^{m+n}]=2013$
Câu 10.(1,5) cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, vẽ $HE\perp AC$. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, tia AI cắt HE tại M. Chứng minh ME=MH
Câu 11.(1,5) Cho phương trình $x^2-2(m-2)x+m^2+2m-3=0$
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa:
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}$
Câu 12.(1,5) Từ điểm A ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O)(B,C là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm AB, IC cắt (O) tại M. Chứng minh:$MB^2=MA.MC$
- Phạm Hữu Bảo Chung và daovuquang thích
#2
Đã gửi 29-06-2012 - 12:10
Câu 2.(2) Rút gọn $A=\sqrt{(x^2-3)^2+12x^2}-\sqrt{(x+5)^2-20x}$
$A=\sqrt{(x^2-3)^2+12x^2}-\sqrt{(x+5)^2-20x}$
$A=\sqrt{x^{4}+6x^{2}+9}-\sqrt{x^{2}-10x+25}$
$A=\sqrt{(x^{2}+3)^{2}}-\sqrt{(x-5)^{2}}$
TH1: Với $x\geq 5$
$A=(x^{2}+3)^{2}-(x-5)$
$A=x^{4}+6x^{2}-x+14$
TH2: Với $x<5$
$A=(x^{2}+3)^{2}-(5-x)$
$A=x^{4}+6x^{2}+x+4$
Câu 5(1,5). Giải phương trình $\frac{x^2}{4}+\frac{1}{x^2}=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$
$\frac{x^2}{4}+\frac{1}{x^2}=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$
ĐKXĐ:.............................
$\frac{x^2}{4}+\frac{1}{x^2}=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}+1$
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{x}{2}\\ b=\frac{1}{x} \end{matrix}\right.$, ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=a-b+1\\ 2ab=1 (a) \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2}=(a-b)$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=b\\ a=1+b \end{bmatrix}$
Đến đây thế vào $(a)$ là ra
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 29-06-2012 - 12:19
- Phạm Hữu Bảo Chung, funcalys và C a c t u s thích
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
#3
Đã gửi 29-06-2012 - 12:19
$m^{2}-2m+3=\left ( m-1 \right )^{2}+2> o \rightarrow$ phương trình hàm số luôn nghịch biến khi x<0
- Phạm Hữu Bảo Chung và hoangtrong2305 thích
try...........!^-*.
#4
Đã gửi 29-06-2012 - 12:38
*$x\geq 5\rightarrow A=x^{2}-x+8$
*x< 5\rightarrow A=x^{2}+x-2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 9ainmyheart: 29-06-2012 - 12:44
try...........!^-*.
#5
Đã gửi 29-06-2012 - 12:49
*TH1: Với $m+n=0$ thì $VP(*)=0\ne VP(*)$ (Loại)Câu 9.(1,5) Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên m,n sao cho
$\frac{1}{4}(m-n)(m+n)[1+(-1)^{m+n}]=2013\ (*)$
*TH2: Với $m+n\ge 1$ thì $1+(-1)^{m+n}=0\Rightarrow VP(*)=0\ne VP(*)$ (Loại)
Vậy trong mọi trường hợp thì pt đã cho vô nghiệm <Q.E.D>
-------
Cộng hai pt lại ta có: $x^2+2xy+y^2+x+y=56\Leftrightarrow (x+y)^2+(x+y)-56=0\Leftrightarrow x+y=7\vee x+y=-8$Câu 7.(2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
& \\ x^2+y^2+xy=37
& x+y+xy=19
\end{matrix}\right.$
Thay vô pt $(2)$ rồi xài Viet là ra
--------
Đề nhiều câu nhưng không chất ="='
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 29-06-2012 - 12:54
#6
Đã gửi 29-06-2012 - 14:22
Bài này có thể dùng lượng giác để giải nhưng vì THCS chưa có học mấy công thức lượng giác nên mình xin trình bày theo kiến thức THCS.Đề thi tuyển sinh chuyên Thăng Long Đà Lạt 2012
Câu 3.(1,5) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết $sinB=\frac{3}{4}sinC$, tính CosC
Trước hết ta vẽ đường cao AH.
Ta có $sinB=\frac{AH}{AB}$ và $sinC=\frac{AH}{AC}$
Từ đề bài ta có:$AB=\frac{4}{3}AC$
=>$BC=\frac{5}{3}AC$
=>$cosC=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}$.
Đề này công nhân dễ thiệt.Chỉ có cái là dài,chép hơi mỏi tay.
- Phạm Hữu Bảo Chung yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#7
Đã gửi 29-06-2012 - 16:00
Ta có:Câu 4.(2) Tính $A=\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+...+\frac{1}{120}$
$A=\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+...+\frac{1}{120}$
$\Rightarrow \frac{A}{2}=\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{240}$
$\Rightarrow \frac{A}{2}=\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{15.16}$
$\Rightarrow \frac{A}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{15}-\frac{1}{16}$
$\Rightarrow \frac{A}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{16}$
$\Rightarrow \frac{A}{2}=\frac{3}{16}$
$\Rightarrow A=\frac{3}{8}$
P.s: Đề này dài nhỉ
- Phạm Hữu Bảo Chung và ducthinh26032011 thích
Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực
#8
Đã gửi 29-06-2012 - 16:15
Giải
Do x, y dương nên $x^3 + y^3 > 0 \Rightarrow x > y$Ta có: $x^3+y^3=x-y \Rightarrow \dfrac{x^3 + y^3}{x - y} = 1$
Do đó, để CM $x^2+y^2<1$, ta chỉ cần CM $x^2 + y^2 < \dfrac{x^3 + y^3}{x - y} \,\, (1)$
Ta thấy:
$(1) \Leftrightarrow (x^2 + y^2)(x - y) < x^3 + y^3$
$\Leftrightarrow x^3 - x^2y + y^2x - y^3 < x^3 + y^3$
$\Leftrightarrow 2y^3 + x^2y - y^2x > 0 \Leftrightarrow y(2y^2 - xy + x^2) > 0$
$\Leftrightarrow y[(x - \dfrac{y}{2})^2 + \dfrac{7y^2}{4}] > 0 $
BĐT trên luôn đúng với x, y > 0.
- hoangtrong2305, N H Tu prince và C a c t u s thích
#9
Đã gửi 29-06-2012 - 16:29
Câu 9.(1,5) Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên m, n sao cho
$\frac{1}{4}(m-n)(m+n)[1+(-1)^{m+n}]=2013$
@minhtuyb: Với m + n chẵn, ta đâu thể khẳng định được rằng: $1 + (- 1)^{m + n} = 0$
Giải
Ta có thể đánh giá như sau:Dễ thấy: $m > n \geq 0$ vì nếu $m \leq n$ thì $VT \leq 0 \neq VF$
- Với m, n khác tính chẵn, lẻ. Khi đó m + n lẻ, suy ra:
$$1 + (-1)^{m + n} = 1 - 1 = 0$$
Khi đó, $VT = 0 \neq 2013 = VF$.
- Với m, n cùng tính chẵn lẻ. Khi đó:
$m + n; m - n \, \vdots \, 2$ và $1 + (- 1)^{m + n} = 2$
Suy ra: $\frac{1}{4}(m-n)(m+n)[1+(-1)^{m+n}] \, \vdots \, 2 $
Mà: $2003 \not \vdots \, 2$
Vì thế, $VT \neq VF$
Nói tóm lại, không tồn tại các số tự nhiên m, n thỏa mãn đề bài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 29-06-2012 - 16:31
- davildark, C a c t u s và 9ainmyheart thích
#10
Đã gửi 29-06-2012 - 19:10
AK cắt (O) tại K, KI là đường kính (O) (I $\euro$ dt (O))
=> IA song song BC (cùng vuông AK) => AICB là hthang nội tiếp (O) => AICB hthang cân
=> cung AB = cung IC => $\widehat{ACB}$ = cung IC/2
=> $\widehat{ACB}+\widehat{AKO}=\widehat{ACB}+\widehat{HAO}$= cung IC/2 + cung IA/2 = cungAC/2 = $\widehat{ABC}$ (đpcm)
- Phạm Hữu Bảo Chung và triethuynhmath thích
Như thầy hxthanh đã nói: TOÁN HỌC luôn hiện hữu trong cuộc sống.
Còn LÀM được toán là còn sống...
Và theo suy nghĩ thêm của em... Còn ĐƯỢC làm toán cũng là còn sống ...
______ ________ ______
V.M.F
#11
Đã gửi 29-06-2012 - 19:26
Từ tam giác ABC cân tại A, đường cao AH => H là trung điểm BC.Gọi T là trung điểm CE => HT // BE(Định lí đường trung bình)=> AM vuông góc HT
Mà HE vuông góc AT nên M là trực tâm tam giác AHT => TM vuong góc AH vậy TM // HC => M là trung điểm HE(T là trung điểm CE) => Q.E.D
P/s:đây là bài toán đảo của 1 bài toán rất quen thuộc đối với các bạn giỏi toán
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 30-06-2012 - 11:53
- Phạm Hữu Bảo Chung và battlebrawler thích
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
#12
Đã gửi 29-06-2012 - 19:36
Gọi E là điểm đối xứng của M qua I => EBMA là hình bình hành => BM //EA => $\angle EAB=\angle ABM=\angle MCH$=> EBCA nội tiếp => $\angle EBI = \angle ICA=\angle MHC$ mặt khác BE // AM(hbh EBMA) => $\angle EBI=\angle BAM=\angle MBC$
Từ đó suy ra tam giác ABM đồng dạng tam giác BCM(gg) => Q.E.D
- Phạm Hữu Bảo Chung, perfectstrong và battlebrawler thích
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
#13
Đã gửi 03-07-2012 - 20:56
Cauchy-Schwarz: $$(x^3+y^3)(x+y) \ge (x^2+y^2)^2 \Rightarrow (x-y)(x+y) \ge (x^2+y^2)^2 $$
$$\Rightarrow x^2-y^2 \ge (x^2+y^2)^2 \Rightarrow x^2+y^2 \le \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} <1$$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh