Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Chứng minh rằng: $\left\lfloor {{{\left( {\sqrt {11} + 3} \right)}^{2n + 1}}} \right\rfloor $ chia hết cho ${2^{n + 1}}$ và không chia hết cho ${2^{n + 2}}$ với mọi $n$ là số tự nhiên.

[nguyenta98]

Bài toán. Chứng minh rằng: $\left\lfloor {{{\left( {\sqrt {11} + 3} \right)}^{2n + 1}}} \right\rfloor $ chia hết cho ${2^{n + 1}}$ và không chia hết cho ${2^{n + 2}}$ với mọi $n$ là số tự nhiên.

Giải như sau:

Đặt $\left(\sqrt{11}+3\right)=a$ và $\left(\sqrt{11}-3\right)=b$

B1: Chứng minh $\left\lfloor{(\sqrt{11}+3)^{2n+1}}\right\rfloor=a^{2n+1}-b^{2n+1}$ (dễ dàng chứng minh do $b$ vốn nhỏ hơn $1$ và áp dụng lý thuyết phần

nguyên)

B2: Quy nạp, ta cần chứng minh $\left\lfloor{(\sqrt{11}+3)^{2n+1}}\right\rfloor \vdots 2^{n+1}$ mà $\not \vdots 2^{n+2}$

Hay chứng minh $a^{2n+1}-b^{2n+1} \vdots 2^{n+1}$ mà $\not \vdots 2^{n+2}$

Thử $n=1$ hiển nhiên đúng

Giả sử $n=k$ và $n=k-1$ đúng hay $a^{2k+1}-b^{2k+1} \vdots 2^{k+1}$ mà $\not \vdots 2^{k+2}$

Và $a^{2k-1}-b^{2k-1} \vdots 2^{k}$ mà $\not \vdots 2^{k+1}$

Ta sẽ chứng minh $n=k+1$ cũng đúng hay $a^{2k+3}-b^{2k+3} \vdots 2^{k+2}$ mà $\not \vdots 2^{k+3}$

Thật vậy, ta có $\left(a^{2k+1}-b^{2k+1}\right).\left(a^2+b^2\right)=a^{2k+3}-b^{2k+3}-a^2b^2.\left(a^{2n-1}-b^{2n-1}\right)$

Vì $a^2+b^2=\left(\sqrt{11}+3\right)^2+\left(\sqrt{11}-3\right)^2=40$ và tương tự $a^2b^2=4$ $(1)$

Như vậy $\left(a^{2k+1}-b^{2k+1}\right).\left(a^2+b^2\right) \vdots 2^{k+1}.2^3 =2^{k+4}$ (kết hợp GTQN và $(1)$) $(2)$

Và $a^2b^2.\left(a^{2n-1}-b^{2n-1}\right) \vdots 2^{k+2}$ (kết hợp GTQN và $(1)$) $(3)$

Từ $(2)(3) \Rightarrow a^{2k+3}-b^{2k+3} \vdots 2^{k+2}$ nhưng do $a^2b^2.\left(a^{2n-1}-b^{2n-1}\right) \vdots 2^{k+2}$ chỉ chia hết cho $2^{k+2}$ mà

không chia hết cho $2^{k+3}$ (do GTQN và $v_2(4)=2$) nên suy ra $a^{2k+3}-b^{2k+3}$ cũng chỉ chia hết cho $2^{k+2}$ mà không chia hết cho $2^{k+3}$

suy ra $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 04-07-2012 - 00:04