Problem: Let $n \ge 3$ be an integer, and let $a_2, a_3, \ldots , a_n$ be positive real numbers such that $a_2\cdots a_n = 1.$ Prove that \[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n > n^n\]
Bài toán: Cho số nguyên $n \ge 3$ và ${a_2},{a_3},...,{a_n}$ là các số thực dương thỏa mãn ${a_2}{a_3}...{a_n} = 1$. Chứng minh rằng:
\[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n > n^n\]
[IMO 2012 - P.2] Chứng minh: \[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n > n^n\]
Bắt đầu bởi Crystal , 11-07-2012 - 00:45
#1
Đã gửi 11-07-2012 - 00:45
- anh qua, Tham Lang, HÀ QUỐC ĐẠT và 5 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 11-07-2012 - 01:04
Hi hi, đúng là dễ hơn đề thi ĐH thật
Áp dụng $AM-GM$ ta có ngay :
$$(1+a_k)^k=\left (\dfrac{1}{k-1}.(k-1)+a_k\right )^k\ge \left (\dfrac{k\sqrt[k]{a_k}}{\sqrt[k]{(k-1)^{k-1}}}\right )^k=\dfrac{a_k}{(k-1)^{k-1}}.k^k$$
Nên do đó :
$$(1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n\ge n^n.a_2...a_n=n^n$$
Nhưng dấu "=" không xảy ra, suy ra ĐPCM.
_____________________________________________
@hxthanh: Tại bài này quá lỏng thôi!
Áp dụng $AM-GM$ ta có ngay :
$$(1+a_k)^k=\left (\dfrac{1}{k-1}.(k-1)+a_k\right )^k\ge \left (\dfrac{k\sqrt[k]{a_k}}{\sqrt[k]{(k-1)^{k-1}}}\right )^k=\dfrac{a_k}{(k-1)^{k-1}}.k^k$$
Nên do đó :
$$(1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n\ge n^n.a_2...a_n=n^n$$
Nhưng dấu "=" không xảy ra, suy ra ĐPCM.
_____________________________________________
@hxthanh: Tại bài này quá lỏng thôi!
- CD13, perfectstrong, hxthanh và 23 người khác yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#3
Đã gửi 11-07-2012 - 17:57
Sao đề năm nay dễ vậy?Câu 1 và câu 2 làm có mấy dòng là ra.Chắc là làm 2 câu này trong vòng 30' còn 4 tiếng suy nghĩ câu 3.Hi hi, đúng là dễ hơn đề thi ĐH thật
Áp dụng $AM-GM$ ta có ngay :
$$(1+a_k)^k=\left (\dfrac{1}{k-1}.(k-1)+a_k\right )^k\ge \left (\dfrac{k\sqrt[k]{a_k}}{\sqrt[k]{(k-1)^{k-1}}}\right )^k=\dfrac{a_k}{(k-1)^{k-1}}.k^k$$
Nên do đó :
$$(1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n\ge n^n.a_2...a_n=n^n$$
Nhưng dấu "=" không xảy ra, suy ra ĐPCM.
- viet 1846, Tham Lang, Bong hoa cuc trang và 1 người khác yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh