[IMO 2012 - P.1] Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $ST$
#1
Posted 11-07-2012 - 00:51
Bài toán: Cho tam giác $ABC$, gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$, đường tròn này tiếp xúc với $BC$ tại $M$ và các tia $AB, AC$ tại $K,L$. Các đường thẳng $LM$ và $BJ$ cắt nhau tại $F$, $KM$ và $CJ$ cắt nhau tại $G$. $S$ là giao điểm của $AF$ và $BC$, $T$ là giao điểm của $AG$ và $BC$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $ST$.
#2
Posted 11-07-2012 - 01:10
$\widehat{JFM} = \widehat{JGM} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$
nên các tứ giác: $ALJF;AKJG$ nội tiếp.
Từ đó dễ dàng suy ra: $G;F$ lần lượt là trung điểm của $AT;AS$
Nên M là trung điểm của $ST$.
- CD13, perfectstrong, Tham Lang and 4 others like this
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again
#3
Posted 11-07-2012 - 01:31
Ta có:
$\widehat{JFM} = \widehat{JGM} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$
nên các tứ giác: $ALJF;AKJG$ nội tiếp.
Từ đó dễ dàng suy ra: $G;F$ lần lượt là trung điểm của $AT;AS$
Nên M là trung điểm của $ST$.
Trời. Toán IMO mà lời giải chỉ có vậy thôi sao. Xỉu!
- Tham Lang, L Lawliet, nghiakvnvsdt and 3 others like this
#4
Posted 11-07-2012 - 08:20
Xin post cái hình bài này cho mọi người dễ theo dõi ^^Ta có:
$\widehat{JFM} = \widehat{JGM} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$
nên các tứ giác: $ALJF;AKJG$ nội tiếp.
Từ đó dễ dàng suy ra: $G;F$ lần lượt là trung điểm của $AT;AS$
Nên M là trung điểm của $ST$.
- BlackSelena, ducthinh26032011 and ElenaIP97 like this
Thích ngủ.
#5
Posted 11-07-2012 - 09:27
Em chứng minh kĩ phần này hơn để cho các bạn chưa hiểu (giống em lúc đầu ) coi:Ta có:
$\widehat{JFM} = \widehat{JGM} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$
nên các tứ giác: $ALJF;AKJG$ nội tiếp.
Từ đó dễ dàng suy ra: $G;F$ lần lượt là trung điểm của $AT;AS$
Nên M là trung điểm của $ST$.
Ta có tính chất về đường tròn bàng tiếp như sau
$\frac{\angle A}{2} = 90^o - \angle BJC$
Ta có:
$\angle BFM = \angle JBM - \angle FMB = 90^o - \angle BJM - \angle LMC = 90^o - \angle BJC = \frac{\angle A}{2}$
Edited by BlackSelena, 11-07-2012 - 09:28.
- perfectstrong, hxthanh, L Lawliet and 4 others like this
#6
Posted 11-07-2012 - 11:26
Chứng minh luôn phần trung điểm:Sao toán IMO mà ... thế nhỉ.
Em chứng minh kĩ phần này hơn để cho các bạn chưa hiểu (giống em lúc đầu ) coi:
Ta có tính chất về đường tròn bàng tiếp như sau
$\frac{\angle A}{2} = 90^o - \angle BJC$
Ta có:
$\angle BFM = \angle JBM - \angle FMB = 90^o - \angle BJM - \angle LMC = 90^o - \angle BJC = \frac{\angle A}{2}$
Ta có: $\widehat{FMB}=\widehat{CML}$ (đối đỉnh) và 4 điểm $M$, $C$, $L$, $J$ cùng thuộc một đường tròn nên $\widehat{CML}=\widehat{CJL}$ (cùng chắn cung $CL$). Suy ra:
$$\widehat{FMB}=\widehat{CML}=\widehat{CJL}$$
6 điểm $A$, $F$, $K$, $J$, $L$, $G$ cùng thuộc một đường tròn nên $\widehat{GJL}=\widehat{GAL}$ (cùng chắn cung $GL$)
Nên: $\widehat{ATC}=\widehat{CAT}=\widehat{CJL}$
Do đó: $\widehat{ATC}=\widehat{FMB}$ suy ra $FM//AT$.
Tam giác $ABS$ cân tại $B$ (có đường cao vừa là đường phân giác) nên $F$ là trung điểm của $AS$, suy ra $M$ là trung điểm của $ST$.
___
Cái này BlackSalena bảo làm rõ ra chứ chưa hiểu nên mình làm ra ^^
Edited by L Lawliet, 11-07-2012 - 11:35.
- perfectstrong, henry0905, BlackSelena and 2 others like this
Thích ngủ.
#7
Posted 11-07-2012 - 11:35
anh cao thủ thật.Ta có:
$\widehat{JFM} = \widehat{JGM} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$
nên các tứ giác: $ALJF;AKJG$ nội tiếp.
Từ đó dễ dàng suy ra: $G;F$ lần lượt là trung điểm của $AT;AS$
Nên M là trung điểm của $ST$.
C/m G,F trung điểm em mất tới 10', còn anh dễ dàng suy ra
Em c/m rõ hơn nhé:
$\Rightarrow$ 6 điểm A,G,L,J,K,F cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AJ
Ta có: $\widehat{FSB}=90^{\circ}-\widehat{FBS}=90^{\circ}-(90^{\circ}-\widehat{BKM})=\widehat{BKM}=\widehat{AFG}$ (cùng chắn cung AG)
$\Rightarrow$ FG//ST
Mà $\widehat{FAB}=\widehat{BJK}=\widehat{AFG}=\widehat{ASB}$
$\Rightarrow$ Tam giác ABS cân tại B $\Rightarrow$ F là trung điểm AS
C/m tương tự được tam giác ACT cân tại C và G là trung điểm AT
Ta có: $\frac{MC}{CT}=\frac{LC}{AC}$ $\Rightarrow$ FM//AT $\Rightarrow$ M là trung điểm ST
P/s: Sao anh qua không dự thi IMO vậy?
- perfectstrong and L Lawliet like this
#8
Posted 11-07-2012 - 11:54
#9
Posted 11-07-2012 - 11:56
Sao đề hình dễ thế nhỉ Bài hình năm ngoái hay hơn mà
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#10
Posted 11-07-2012 - 12:06
Câu bất đẳng thức cũng được đánh giá dễ rất nhiều anh à (mặc dù em làm không được :">)Spam phát!
Sao đề hình dễ thế nhỉ Bài hình năm ngoái hay hơn mà
Thích ngủ.
#11
Posted 11-07-2012 - 16:16
- C a c t u s likes this
Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm.
Even in the games of children there are things to interest the greatest mathematician.
Gottfried Wilhelm Leibniz
~*~
Không có gì hủy hoại những khả năng toán học bằng thói quen tiếp nhận những phương pháp giải có sẵn mà không hề tự hỏi vì sao cần giải đúng như thế và làm thế nào để có thể tự nghĩ ra điều đó.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users