Chủ đề này có 3 trả lời

[henry0905]

Hỏi có tồn tại một đẳng thức với hệ số nguyên P(x) thỏa mãn P(1)=19 và P(19)=85?

[Crystal]

Hỏi có tồn tại một đẳng thức với hệ số nguyên P(x) thỏa mãn P(1)=19 và P(19)=85?

Ta có bổ đề: Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên; $a,b$ là hai số nguyên khác nhau.

Khi đó: $P\left( a \right) - P\left( b \right)\,\, \vdots \,\,a - b\,\,\,\,\,\left( {a > b} \right)$

Trở lại bài toán.

Giả sử tồn tại một đa thức với hệ số nguyên $P(x)$ thỏa mãn bài toán.

Ta có: $P\left( {19} \right) - P\left( 1 \right)\,\,\, \vdots \,\,19 - 1 = 18$

Mặt khác: $P\left( {19} \right) - P\left( 1 \right) = 85 - 19 = 66\,\,\text{không chia hết cho}\,\,18$

Do đó không tồn tại đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn bài toán.
-------
P/S: Bạn có cần chứng minh bổ đề trên không à?

[ducthinh26032011]

Ta có bổ đề: Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên; $a,b$ là hai số nguyên khác nhau.

Khi đó: $P\left( a \right) - P\left( b \right)\,\, \vdots \,\,a - b\,\,\,\,\,\left( {a > b} \right)$
...

Anh Thành c/m luôn bổ đề đi ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 14-07-2012 - 21:14

[Crystal]

Anh Thành c/m luôn bổ đề đi ạ

Xét đa thức với hệ số nguyên: \[P\left( x \right) = {\alpha_n}{x^n} + {\alpha_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {\alpha_1}x + {\alpha_0}\]
Trong đó: ${\alpha_i} \in \mathbb{Z},\,i = \overline {0,n} $
Ta có: \[P\left( a \right) = {\alpha_n}{a^n} + {\alpha_{n - 1}}{a^{n - 1}} + ... + {\alpha_1}a + {\alpha_0}\]
\[P\left( b \right) = {\alpha_n}{b^n} + {\alpha_{n - 1}}{b^{n - 1}} + ... + {\alpha_1}b + {\alpha_0}\]
Suy ra: \[P\left( a \right) - P\left( b \right) = {\alpha_n}\left( {{a^n} - {b^n}} \right) + {\alpha_{n - 1}}\left( {{a^{n - 1}} - {b^{n - 1}}} \right) + ... + {\alpha_1}\left( {a - b} \right)\]
Mặt khác: ${a^j} - {b^j}\,\, \vdots \,\,a - b,\,\,\forall j \in \mathbb{N}$. Từ đó ta được: $P\left( a \right) - P\left( b \right)\,\,\, \vdots \,\,a - b\,\,\,\,\left( \text{đpcm} \right)$