Chủ đề này có 3 trả lời

[tkvn97]

Bài tập: Cho các số thực a , b, c thỏa mãn
$\left\{\begin{matrix} a^{2} +b^{2}+c^{2}=6& \\ ab+bc+ca=-3& \end{matrix}\right.$
. TÌm giá trị lớn nhất của biểu thức A = $a^{6}+b^{6}+c^{6}$

[minh29995]

Bài tập: Cho các số thực a , b, c thỏa mãn
$\left\{\begin{matrix} a^{2} +b^{2}+c^{2}=6& \\ ab+bc+ca=-3& \end{matrix}\right.$
. TÌm giá trị lớn nhất của biểu thức A = $a^{6}+b^{6}+c^{6}$

Nhân 2 vào PT thứ 2 và cộng vế ta được:
$(a+b+c)^2=0$ suy ra $a+b+c=0$
$<=> c=-a-b$ Thay vào PT ta được:
$a^2+b^2+ab=3$
Đặt $a^2+b^2=x, ab=y$ ta được $x+y=3$
Xét
$A=a^6+b^6+c^6=2a^6+2b^6+6ab(a^4+b^4)+15a^2b^2(a^2+b^2)+20a^3b^3$
$=2(a^2+b^2)(a^4+b^4-a^2b^2)+6ab(a^4+b^4)+15a^2b^2(a^2+b^2)+20a^3b^3$
$=2x(x^2-3y^2)+6y(x^2-2y^2)+15y^2x+20y^3$
$=2x^3+6x^2y+9xy^2+8y^3$
$=2(x+y)^3+3y^2(x+2y)$
$=54+3y^3++9y^2$
Ta sẽ chứng minh $3y^3+9y^2\leq 12$
BĐT này tương đương với:
$(y-1)(y+2)^2\leq 0$
Nếu $y\leq 0$ thì BĐT đúng
Nếu y>0 thì do $a^2+b^2\geq 2ab$ nên $3ab\leq 3$ hay $y\leq 1$
Vậy BĐT đúng
DO ĐÓ: $A\leq 66$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=-1, c=2$ và các hoán vị
Hoặc $a=1, b=-2, c=1$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minh29995: 14-07-2012 - 19:50

[tkvn97]

Mọi người tham khảo cách này . Cách giải này hơi lạ
Từ giả thiết ta có $a+b+c=0$.
Ta có $a,b,c$ là ba nghiệm thực của phương trình $(x-a)(x-b)(x-c)=0\Leftrightarrow x^{3}-3x-abc=0\Leftrightarrow x^{3}-3x+1=abc+1$ (3)
Từ đồ thị hàm số $y=x^{3}-3x+1$ , suy ra pt (3) có 3 nghiệm thực a , b, c khi và chỉ kh$-1\leq abc+1\leq 3\Leftrightarrow -2\leq abc\leq 2$
abc= -2 khi trong ba số a , b, c có hai số bằng 1 , một số bằng -2 .
abc= 2 khi trong ba số a , b, c có hai số bằng -1 , một số bằng 2 .
P = $a^{6}+b^{6}+c^{6}\Rightarrow P- 3(abc)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2})= (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}-3(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})=216-18.9=54$
Đến đây thì Ok rồi . Max = 66 khi khi trong ba số a , b, c có hai số bằng 1 , một số bằng -2 . hoặc khi trong ba số a , b, c có hai số bằng -1 , một số bằng 2 .
Nhận xét : Dây là một bài không dễ .

[tkvn97]

MỌi người thử xem đề khối B năm nay cái câu max đấy có thế làm cách này không nhé.