Chủ đề này có 7 trả lời

[QUANVU]

Số là hữu tỉ hay vô tỉ?

Nhìn lại các bài toán của China TST 2005

[MrMATH]

Vô tỷ

[hoang]

Tổng các căn bậc 2 của các số nguyên là hữu tỷ khi và chỉ khi tất cả các số này là số chính phương

[MrMATH]

Một câu hỏi nhỏ: có thể có 1 phép suy đơn giản của mệnh đề này không:

nếu là 1 số hữu tỷ thì nó là 1 số nguyên

Nếu dùng các kết quả trên thì điều này là hiển nhiên , nhưng dĩ nhiên là chả ai muốn thế nhỉ

Còn 1 vấn đề nữa, vì bài toán trên cùng là 1 bài TST nên lời giải phải sơ cấp 1 chút, nghĩa là vẫn cần tìm 1 lờii giải khác, có thể ý tưởng là kẹp nó giữa 2 số nguyên liên tiếp và kết hợp với mệnh đề trên nhỉ

[lehoan]

Có hay chăng kết quả sau đây: Cho n là số nguyên dương http://dientuvietnam...a_1;a_2;...;a_n là các số nguyên dương. Giả sử
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_i là lũy thừa bậc http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p của một số nguyên dương. Với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p=2 là bài toán trên. Với http://dientuvietnam...tex.cgi?n=2;p=3 đã ra ở VMO năm 93 thì phải

[MrMATH]

Hì, kết quả tổng quát

Còn về bài TST China thì giải theo trực quan xem sao

Bài toán: Số là hữu tỉ hay vô tỉ?

Lời giải : Câu trả lời là vô tỷ.

Thật vậy, trước hết không thể là số nguyên, bởi vì ta có bất đẳng thức kép , lấy căn rồi cộng hết lại ta có bị kẹp giữa 2 số nguyên liên tiếp

Sau nữa ta chứng minh nhận xét

Nhận xét: với các số tự nhiên , nếu là số hữu tỷ thì nó là số nguyên.

Thật vậy, xét đa thức

Ta chứng minh quy nạp rằng là 1 đã thức hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất là 1

Thật vậy, với ta có

Giả sử nhận xét đúng đến n, tức là với là các số nguyên và tích được lấy trên tất cả các bộ số nhận 1 trong 2 giá trị .

Thay và vào giả thiết quy nạp, sau đó đem nhân với nhau, và dựa vào 2 kết quả sau ta dễ dàng thấy được kết quả cần tìm:



là một đa thức hệ số nguyên

Bài toán được giải quyết hoàn toàn

P.S: anh QUANVU ghi nguồn gốc của bài này khó hiểu quá, có phải nó là đề thiết kế cho TST CMo 05 ko ạ

[QUANVU]

Cái tôi dùng là kết quả trong ANT :Tập các số nguyên đại số lập thành một vành.

@Em:Anh ghi rõ thế rồi còn gì nữa?

[emvaanh]

Điều LeHoan nói là đúng. Tôi CM hoàn toàn với kiến thức THPT, nhưng tôi sẽ không giải liền đâu bởi vì không muốn làm lộ ý tưởng . Vì tôi định góp nó vào một đề thi nào đó, khi nào kì thi qua tôi sẽ post giải trong vẹn và tồng quát hơn bài vừa nói.