Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại duy nhất đa thức $f(x)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
$1)$ Hệ số của $f$ thuộc $\{ 0,1,2,..,9 \}$
$2) f(-2)=f(-5)=n$
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại duy nhất đa thức $f(x)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
$1)$ Hệ số của $f$ thuộc $\{ 0,1,2,..,9 \}$
$2) f(-2)=f(-5)=n$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 25-01-2014 - 11:47
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại duy nhất đa thức $f(x)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
$1)$ Hệ số của $f$ thuộc $\{ 0,1,2,..,9 \}$
$2) f(-2)=f(-5)=n$
Xét $n$ là số tự nhiên xác định bất kỳ ($n\in N$).Giả sử tồn tại đa thức
$f(x)=Ax^m+Bx^{m-1}+...+Xx^2+Yx+Z$ thoả mãn $f(-2)=f(-5)=n$ (với $A,B,...,X,Y,Z\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ và $m\in N$)
Ta cần tìm các giá trị thích hợp của $A,B,...,X,Y,Z$ và chứng minh các giá trị đó là duy nhất.
Đặt $n=10k_{1}+b$ ($k_{1}\geqslant 0$ ; $b\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$) ($k_{1}$ và $b$ đều chỉ có giá trị duy nhất)
Ta có $f(-2)\equiv n(mod2)\Rightarrow Z\equiv 10k_{1}+b\equiv b(mod2)$ (1)
$f(-5)\equiv n(mod5)\Rightarrow Z\equiv 10k_{1}+b\equiv b(mod5)$ (2)
Mà $Z,b\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ (3)
(1),(2),(3) $\Rightarrow Z=b$
Xét $2$ trường hợp :
$1)$ $k_{1}=0$
Khi đó đa thức $f(x)=Z$ là đa thức duy nhất thỏa mãn $2$ điều kiện đề bài (vì $Z=b$ ; $b$ chỉ có giá trị duy nhất và $b\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$)
$2)$ $k_{1}>0$
Đặt $g(x)=f(x)-n=Ax^m+Bx^{m-1}+...+Xx^2+Yx-10k_{1}$
$f(-2)=f(-5)=n\Rightarrow f(-2)-n=f(-5)-n=0\Rightarrow -2$ và $-5$ là $2$ nghiệm của $g(x)$
$\Rightarrow g(x)$ chia hết cho $x^2+7x+10$ (4)
Đặt $g_{1}(x)=-k_{1}x^2-7k_{1}x-10k_{1}\Rightarrow g_{1}(x)$ chia hết cho $x^2+7x+10$ (5)
(4),(5) $\Rightarrow Y-(-7k_{1})\vdots 10$ hay $Y=10k_{2}-7k_{1}$ ($k_{2}\in N$)
Vì $Y\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ nên $k_{2}$ chỉ có giá trị duy nhất (đó là giá trị sao cho $0\leqslant 10k_{2}-7k_{1}\leqslant 9$, suy ra $k_{2}\leqslant k_{1}< 2k_{2}$) và $Y$ cũng có giá trị duy nhất.
Nhân $k_{2}x$ với $x^2+7x+10$ rồi cộng với $g_{1}(x)$ ta được
$g_{2}(x)=k_{2}x^3+(7k_{2}-k_{1})x^2+(10k_{2}-7k_{1})x-10k_{1}=A_{2}x^3+B_{2}x^2+Yx-10k_{1}$
(trong đó $A_{2}=k_{2}$ và $5k_{2}<B_{2}=7k_{2}-k_{1}\leqslant 6k_{2}$)
Chọn $k_{3}\in N$ sao cho $0\leqslant X=B_{2}-10k_{3}\leqslant 9$ (suy ra $k_{3}$ và $X$ chỉ có giá trị duy nhất và $k_{3}< k_{2}$)
Nhân $-k_{3}x^2$ với $x^2+7x+10$ rồi cộng với $g_{2}(x)$ ta được
$g_{3}(x)=-k_{3}x^4-(7k_{3}-k_{2})x^3+(B_{2}-10k_{3})x^2+Yx-10k_{1}=A_{3}x^4+B_{3}x^3+Xx^2+Yx-10k_{1}$
Lại chọn $k_{4}\in N$ sao cho $0\leqslant W=10k_{4}-7k_{3}\leqslant 9$ ($k_{4}$ và $W$ chỉ có giá trị duy nhất và $k_{4}\leqslant k_{3}< 2k_{4}$)
Rồi nhân $k_{4}x^3$ cho $x^2+7x+10$ rồi cộng với $g_{3}(x)$ được
$g_{4}(x)=k_{4}x^5+(7k_{4}-k_{3})x^4+(10k_{4}-7k_{3})x^3+Xx^2+Yx-10k_{1}=A_{4}x^5+B_{4}x^4+Wx^3+Xx^2+Yx-10k_{1}$
(Cứ thế tiếp tục ...)
Nhận xét : $\forall i\in N,i\geqslant 2$, ta có :
$1)$ $\left | A_{i} \right |=k_{i}$ ; $\left | B_{i} \right |=\left | 7k_{i}-k_{i-1} \right |\leqslant 6k_{i}$
Mà $7k_{i}-k_{i-1}> 0$ nên $A_{i}$ và $B_{i}$ luôn cùng dấu $\Rightarrow \frac{B_{i}}{A_{i}}\leqslant 6$
$2)$ $k_{i}\leqslant k_{i-1}< 2k_{i}$ nếu $i$ chẵn ; $k_{i}< k_{i-1}$ nếu $i$ lẻ
Do đó khi $i$ tăng thì đến một lúc nào đó (khi $i=p$, $p$ chẵn), ta chắc chắn sẽ có $A_{p}=k_{p}=1$ và $5A_{p}< B_{p}\leqslant 6A_{p}$ (vì khi $p$ chẵn thì $k_{p}\leqslant k_{p-1}< 2k_{p}$) $\Rightarrow B_{p}=6$ ($A_{p}$ và $B_{p}$ đều chỉ có giá trị duy nhất)
Rõ ràng khi đó :
$g_{p}(x)=A_{p}x^{p+1}+B_{p}x^p+...+Xx^2+Yx-10k_{1}$ có tất cả các hệ số (trừ hệ số tự do cuối cùng) thuộc $\left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$
và $g_{p}(x)$ chia hết cho $x^2+7x+10$ $\Rightarrow g_{p}(-2)=g_{p}(-5)=0$
$\Rightarrow f_{p}(x)=g_{p}(x)+n=A_{p}x^{p+1}+B_{p}x^p+...+Xx^2+Yx+Z$ (trong đó $A_{p},B_{p},...,X,Y,Z$ được xác định như đã nói rõ ở trên, chỉ có giá trị duy nhất) chính là đa thức duy nhất thỏa mãn cả $2$ điều kiện trong đề bài.
(Đó cũng chính là đa thức $f(x)$ đã nói ở trên nếu ta đặt $A=A_{p}$, $B=B_{p}$ và $m=p+1$)
Vậy bài toán đã được chứng minh cho cả $2$ trường hợp $k_{1}=0$ và $k_{1}>0$, tức là đúng với mọi $n\in N$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-01-2014 - 18:17
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh