Đến nội dung


Chuyên mục

 Photo

Tuần 3 tháng 12/2016 : Đường tròn tiếp xúc

18-12-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 3 tháng 12 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trung trực $BC$ cắt $CA$, $AB$ tại $A_1$, $A_2$. Trên trung trực $A_1A_2$ lấy $A_3$ sao cho $AA_3$ vuông góc với đường thẳng Euler của tam giác $ABC$. Lấy $A_4$ đối xứng với $A_3$ qua $A_1A_2$. Dựng tương tự các điểm $B_4$, $C_4$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_4B_4C_4$ tiếp xúc đường tròn $(ABC)$.

Post 374.PNG

Hình vẽ bài toán

 

  873 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quynhlqd2016 )

 Photo

Tuần 2 tháng 12/2016 : Bài toán nội tiếp trên đường tròn tiếp xúc

12-12-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 2 tháng 12 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $DE$, $DF$, $EM$, $FN$. $BM$, $CN$ theo thứ tự cắt $PQ$ tại $S$, $T$. Chứng minh rằng bốn điểm $B$, $C$, $S$, $T$ cùng nằm trên một đường tròn tiếp xúc $(I)$.

Post 370.PNG

Hình vẽ bài toán

 

  818 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )

 Photo

Tuần 1 tháng 12/2016 : Bài toán vuông góc trên cấu hình tiếp xúc

04-12-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 1 tháng 12 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Đường tròn qua $B,C$ tiếp xúc $(I)$ tại $P$. $K$ là hình chiếu của $D$ lên $EF$. $PK$ cắt $(I)$ tại $L$. Chứng minh rằng $DL\perp AI$.

  1081 Lượt xem · 6 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )

 Photo

Tuần 5 tháng 11/2016 : Mở rộng bài toán hình học trường đông tại Vinh năm 2016

28-11-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 5 tháng 11 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ nằm trên cạnh. Các  đường tròn $(PAB)$, $(PCA)$ lần lượt cắt $CA$, $AB$ tại $E$, $F$ khác $A$. $K$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $AEF$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $Q$. Trên $QK$ lấy $S$, $T$ sao cho $ET\perp AC$, $FS\perp AB$. $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $CT$, $BS$.

Chứng minh rằng $MN\parallel OQ$.

Post 363.PNG

Hình vẽ bài toán

  1700 Lượt xem · 2 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi dogsteven )

 Photo

Tuần 4 tháng 11/2016 : Trục đẳng phương đi qua trực tâm

20-11-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 4 tháng 11 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$ vơí trực tâm $H$ và trung tuyến $AM$. Dựng $L$ sao cho $A$ là trọng tâm tam giacs $LBC$. Trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính $LH$ và $(O)$ lấy $P$ sao cho $HP\parallel BC$. $K$ là hình chiếu của $P$ lên $OH$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của đường tròn đường kính $OK$ và đường tròn Euler của tam giác $ABC$ đi qua $H$.

  1204 Lượt xem · 2 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi vda2000 )

 Photo

Tuần 3 tháng 11/2016 : Bài toán đường tròn tiếp xúc với đường tròn Mixilinear

14-11-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 3 tháng 11 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA$, $AB$ và tiếp xúc trong $(O)$.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cung $CA$, $AB$ chứa $B$, $C$ của $(O)$. $AM$, $AN$ lần lượt cắt $KC$, $KB$ tại $P$, $Q$.

$R$ đối xứng $A$ qua $PQ$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $RBC$ tiếp xúc $(K)$.

Post 362.PNG

Hình vẽ bài toán

  1254 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Chứng minh công thức Euler cho đa diện bằng vật lý

08-11-2016

Giải Nobel vật lý năm nay được trao cho ba nhà vật lý, Thouless, Haldane và Kosterlitz, vì những đóng góp liên quan đến các chuyển pha và các trạng thái tôpô. Nhân dịp này chúng ta sẽ dùng vật lý để chứng minh một công thức khá nổi tiếng, liên quan đến tôpô – công thức Euler cho đa diện. Công thức này nói rằng với một đa diện bất kỳ, số đỉnh $V$, số mặt $F$ và số cạnh $E$ của nó thoả mãn

 

$$V + F - E = 2$$

 

Ví dụ với hình lập phương ta có $V = 8, F = 6, E = 12,$ và $8 + 6 – 12 = 2$. Bạn có thể kiểm tra với một vài hình đa diện nữa để thấy công thức luôn đúng.

 

Để chứng minh công thức này, ta sẽ lắp một mạch điện theo hình đa diện, thay mỗi cạnh của đa diện bằng một điện trở. Không quan trọng lắm các giá trị của điện trở là bao nhiêu, miễn là tất cả các điện trở đều khác không. Để cho đơn giản ta cho mỗi điện trở là 1 Ω. Sau đó ta chọn hai đỉnh và nối hai cực của một nguồn điện vào hai đỉnh đó, cũng không quan trọng lắm là đỉnh nào. Chẳng hạn với hình lập phương ta có thể tưởng tượng ra mạch điện như sau:

 

resistor-cube-kirt-1.gif

 

Khi ta nối một mạch điện như vậy, tất nhiên điện sẽ chạy trong mạch một cách nhất định. Ta có thể đặt nhiều câu hỏi với mạch điện này. Ví dụ ta có thể hỏi điện trở của mạch là bao nhiêu. Câu hỏi tôi sẽ hỏi là như sau: giả sử tổng dòng điện chạy qua mạch là 1 Amper, dòng điện chạy qua từng điện trở là bao nhiêu? (Tất nhiên là nếu trả lời được câu hỏi này thì có thể tìm ra được điện trở của mạch).

 

Để trả lời câu hỏi trên, ta sẽ lập một hệ phương trình cho phép ta tìm được dòng điện chảy qua từng điện trở. Giả sử $AB$ là một cạnh, ta ký hiệu $I_{AB}$ là dòng điện chạy từ đỉnh $A$ đến đỉnh $B$. Ta có $I_{AB} = -I_{BA}$, và có tổng cộng $E$ đại lượng này. Ta sẽ lập một hệ phương trình để tìm giá trị của các dòng điện này.

 

Có hai loại phương trình, xuất phát từ hai định luật Kirchhoff. Loại đầu tiên là như sau. Giả sử $A$ là một đỉnh, và $B, C, D…$ là các đỉnh kề $A$. Ta có phương trình:

 

$$I_{AB }+ I_{AC} + I_{AD} + … = 0 \text{ hoặc } \, 1 \text{ hoặc } –1$$

 

Vế phải là 0 nếu như đỉnh $A$ không phải một trong hai đỉnh nối vào nguồn điện, là 1 nếu $A$ được nối vào cực dương và –1 nếu $A$ nối vào cực âm. Đơn giản phương trình này nói dòng điện chạy vào một đỉnh phải bằng dòng chạy ra từ đó.

 

Ta có tổng cộng bao nhiêu phương trình như thế này? Đếm thì thấy tổng cộng là $V$ phương trình, nhưng thực ra chúng không độc lập với nhau. Có thể thấy điều này bằng cách lấy tổng tất cả các phương trình trên. Ta sẽ được đồng nhất thức $0 = 0$, vì ở vế trái với mỗi $I_{AB}$ bao giờ cũng có $I_{BA}$. Vế phải thì tất nhiên tổng là $1 + (–1)$ cộng nhiều số 0, cũng bằng không. Như vậy chỉ có $V – 1$ phương trình độc lập.

 

Nhưng những phương trình trên không phải tất cả các phương trình ta phải viết ra. Có một loạt các phương trình khác (phương trình loại hai). Ta giả sử $ABCD$ là một mặt (ta cho nó là tứ giác ở đây nhưng logic tiếp theo đúng với mọi đa giác). Ta sẽ có phương trình

 

$$I_{AB} + I_{BC} + I_{CD} + I_{DA} = 0$$

 

Tại sao có phương trình này? Đó là do điện trở trên mỗi cạnh là 1 Ω nên $I_{AB}$ cũng là hiệu điện thế giữa hai đỉnh $A$ và $B$: $I_{AB} = U_{B}-U{A}$. Từ đó phương trình ở trên trở thành hiển nhiên. Tổng cộng có $F$ phương trình như vậy. Tuy nhiên các phương trình này cũng không độc lập, nếu cộng tất cả các phương trình này lại ta lại có đồng nhất thức $0 = 0$, do đó là chỉ có $F – 1$ phương trình loại hai.

 

Tổng cộng ta có như vậy là $(V – 1) + (F – 1) = V + F – 2$ phương trình.

 

Ta phải giải các phương trình này để tìm các dòng $I_{AB}$. Có bao nhiêu ẩn số tất cả? Số ẩn là số cạnh $E$.

 

Thiên nhiên cho ta biết khi nối mạch điện thì chỉ có một nghiệm duy nhất, vậy số phương trình phải bằng số ẩn.

 

Do đó $V + F – 2 = E$.

 

Đây chính là công thức Euler phải chứng minh.

 

Nguồn: Blog Đàm Thanh Sơn https://damtson.word.../euler-formula/

  910 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Tuần 2 tháng 11/2016 : $AH=4\cdot AN$

07-11-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 2 tháng 11 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AD$, trực tâm $H$. $P,Q$ đối xứng $D$ qua $CA,AB$. Trung trực $CA,AB$ lần lượt cắt $AB,CA$ tại $F,E$.

$K,L$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $APE, AQF$. $KL$ cắt đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ tại $R$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Lấy $N$ thuộc $AH$ sao cho $RN\perp AM$.

Chứng minh rằng $AH=4\cdot AN$.

Post 358.PNG

Hình vẽ bài toán

  1216 Lượt xem · 3 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quantv2006 )

 Photo

Tuần 1 tháng 11/2016 : Trục đẳng phương đi qua giao điểm

31-10-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 5 tháng 10 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $T$. $D$ là một điểm trên cạnh $BC$. $TD$ cắt $(TBC)$ tại $P$ khác $T$. $K$ thuộc $BC$ sao cho $AK\parallel PD$. $L$ thuộc $AK$ sao cho $DL\parallel AP$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của đường tròn $(DKL)$ và $(TBC)$ đi qua giao điểm của $KP$ và $AD$.

Post 356.PNG

Hình vẽ bài toán

  955 Lượt xem · 3 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi Ngockhanh99k48 )

 Photo

Tuần 4 tháng 10/2016: Đường tròn tiếp xúc đường tròn cố định

23-10-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 4 tháng 10 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ di chuyển trên cung nhỏ $BC$. Dựng ra ngoài tam giác $PBC$ các điểm $E,F$ sao cho $\triangle PCE\sim \triangle AOB$ và $\triangle PBF\sim \triangle AOC$. Tiếp tuyến tại $P$ của $(O)$ cắt đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PCE,PBF$ tại $M,N$ khác $P$. $EM$ cắt $FN$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $QMN$ luôn tiếp xúc một đường tròn cố định khi $P$ thay đổi.

Post 355.PNG

Hình vẽ bài toán

  1120 Lượt xem · 8 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )


Những bài toán trong tuần

Trong một hộp có 10 tấm thẻ được đánh số 0,1,2,..,9. Lấy ngẫu nhiên bốn thẻ và xếp cạnh nhau theo thứ tự từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để bốn thẻ xếp thành một số tự nhiên chẵn.

>>Tham gia giải bài toán này<<

Những bài toán đã qua


Mỗi tuần 1 bài toán hình học

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với $CA,AB$ tại $E,F$ và tiếp xúc trong $(O)$. Tiếp tuyến qua $A$ của các đường tròn $(K),(L)$ ngoại tiếp các tam giác $ABE, ACF$ cắt $BE,CF$ lần lượt tại $S,T$. $KS$ cắt $LT$ tại $M$. Trung trực $AI$ cắt $AO$ tại $N$. $MN$ cắt $AI$ tại $P$. Chứng minh rằng $PA^2= PI \cdot PJ$.


Tham gia giải bài toán này

Ấn phẩm của Diễn đàn Toán học

 

 

 

Bài viết mới


  • 564150 Bài viết
  • 91302 Thành viên
  • hotronghai Thành viên mới nhất
  • 17600 Online đông nhất

Portal v1.4.0 by DevFuse | Based on IP.Board Portal by IPS