18 replies to this topic

[hieuvipntp]

Kỳ thi tuyển sinh 10 THPT chuyên Quốc Học Huế năm 2013-2014

Môn thi: Toán chuyên

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

 Bài 1:(1.5điểm)

  Gỉai hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{1}{x}}=3 & & \\ (x+1)\sqrt{y}=2\sqrt{x} & & \end{matrix}\right.$
 
Bài 2(1.5điểm)
  Cho phương trình $x^{4}+(1-m)x^{2}+2m-2=0$ ($m$ là tham số)
  1.Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có $4$ nghiệm phân biệt.
  2.Trong trường hợp pt có $4$ nghiệm phân biệt là $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ hãy tìm các giá trị của $m$ sao cho:

 

              $\frac{x_{1}x_{2}x_{3}}{2x_{4}}+\frac{x_{1}x_{2}x_{4}}{2x_{3}}+\frac{x_{1}x_{3}x_{4}}{2x_{2}}+\frac{x_{2}x_{3}x_{4}}{2x_{1}}=2013$
 
Bài 3:(1.5điểm)
  1.Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y+z+\sqrt{xyz}=4$ .Tính giá trị của biểu thức:

 

          T=$\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}$
 
 2.Cho số tự nhiên có $2$ chữ số. Khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó được thương là $q$ dư $r$.Nếu đổi chỗ $2$ chữ số của số đó cho tổng các chữ số của nó được thương $4q$ dư $r$. Tìm số đã cho.
 
Bài 4(3 điểm)
 1.Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC$. Lấy điểm $A$ trên đg tròn sao cho $AB> AC$ ($A$ khác $C$). Vẽ hình vuông $ABDE$ ($D$ và $E$ cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ $AB$ không chứa $C$). Gọi F là giao điểm thứ $2$ của $AD$ với đường tròn và $K$ là giao điểm của $CF$ với $DE$. Chứng minh $KB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
2.Cho tam giác $ABC$ có $AB=c,BC=a,AC=b$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. đường thẳng vuông góc với $CI$ tại $I$ cắt $CA,CB$ theo thứ tự tại $M,N$. Chứng minh:
    a)$AM$.$BN$ = $IM^{2}=IN^{2}$ 
    b)$\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ac}+\frac{IC^{2}}{ab}=1$
 
Bài 5(2 điểm)
    1.Cho $2$ số dương $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện $a+b$$\leq$2. Chứng minh $\frac{(a+1)^{6}}{b^{5}}+\frac{(b+1)^{6}}{a^{5}}\geq 128.$
    2.Tìm số tự nhiên có $3$ chữ số $n=100a+10b+c$ sao cho biểu thức $\frac{n}{a+b+c}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

 

                     --------------------------------------------------Hết-----------------------------------------------

      Họ và tên:.............................

Số báo danh:.................

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Edited by hieuvipntp, 01-07-2013 - 17:03.

[hieuvipntp]

xin lỗi mấy bạn nghe, câu cuối là tìm min(mình chỉnh lại rồi)

Edited by hieuvipntp, 01-07-2013 - 17:05.

[ongngua97]

 

Bài 5(2 điểm)

    1.Cho 2 số dương a và b thỏa mãn điều kiện a+b<=2. Chứng minh $\frac{(a+1)^{6}}{b^{5}}+\frac{(b+1)^{6}}{a^{5}}\geq 128.$

  

Ta có $\sum \frac{(a+1)^{6}}{b^{5}}\geq \sum \frac{(2\sqrt{a})^{6}}{b^{5}}=64\sum \frac{a^{3}}{b^{5}}\geq 64.2\sqrt{\frac{1}{a^{2}b^{2}}}=\frac{128}{ab}\geq \frac{128}{\frac{(a+b)^{2}}{4}}=128$

 

Dấu = xảy ra khi a=b=1.

[Juliel]

 

Bài 5(2 điểm)

    1.Cho 2 số dương a và b thỏa mãn điều kiện a+b<=2. Chứng minh $\frac{(a+1)^{6}}{b^{5}}+\frac{(b+1)^{6}}{a^{5}}\geq 128.$

 

Cách này dở hơn anh Ong Ngựa 97 nhưng mà hi vọng cũng làm phong phú các phương pháp chứng minh BĐT @.@

$(a+1;b+1)\rightarrow (x;y)\Rightarrow x+y\leq 4$

Khi đó $VP=\frac{x^{6}}{(y-1)^{5}}+\frac{y^{6}}{(x-1)^{5}}$

Ta có :

$\frac{x^{6}}{(y-1)^{5}}+64(y-1)+64(y-1)+64(y-1)+64(y-1)+64(y-1)\geq 192x\Rightarrow \frac{x^{6}}{(y-1)^{5}}\geq 192x-320y+320$

Tương tự với BĐT còn lại, cuối cùng :

$VP\geq -128(x+y)+640\geq 128$

Ta có đpcm . Đẳng thức xảy ra khi $x=y=2\Leftrightarrow a=b=1$

[ngocduy286]

    2.Tìm số tự nhiên có 3 chữ số n=100a+10b+c sao cho biểu thức $P=\frac{n}{a+b+c}$ Mim

Ta chứng minh $\dfrac{n}{a+b+c} \geq \dfrac{199}{19}$  (1)

$(1)\Leftrightarrow 1900a+190b+19c\geq 199a+199b+199c$

$\Leftrightarrow 1701a\geq 9b+180c$   (2)

Ta có: 

$1701a \geq 1701$

$9b+180c \leq 9.9+180.9=1701$

suy ra (2) đúng

Vậy $MinP= \dfrac{199}{19}$ khi $n=199$

Nếu tìm $MaxP$ thì cũng đơn giản

$P \leq \dfrac{100a+100b+100c}{a+b+c}=100$

$MaxP=100$ khi $n$ là một trong các số {$100,200,...,900$}

[trauvang97]

Bài 3:(1.5đ)

  1.Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z+$\sqrt{xyz}=4$ .Tính giá trị của biểu thức

          T=$\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}$ 

 

Từ giả thiết ban đầu ta có: $4(x+y+z)+4\sqrt{xyz}=16$ và do đó:

 

$\sqrt{x(4-y)(4-z)}=\sqrt{x(16-4y-4z+yz)}=\sqrt{x(yz+4\sqrt{xyz}+4x)}=\sqrt{x}\sqrt{(\sqrt{yz}+2\sqrt{x})^{2}}=2x+\sqrt{xyz}$

 

Tương tự ta có:  $\sqrt{y(4-x)(4-z)}=2y+\sqrt{xyz}$

 

                           $\sqrt{z(4-y)(4-x)}=2z+\sqrt{xyz}$

 

Cộng ba đẳng thức trên theo từng vế ta có: 

 

$\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}=2(x+y+z+\sqrt{xyz})=8$

[Katyusha]

Ai giúp mình câu hình 4.2b với

Edited by Katyusha, 03-07-2013 - 16:32.

[lequanghung98]

Bài 2:a) $y=x^{2}\Rightarrow y^{2}+(1-m)y+2m-2=0.$ với $y=x^{2}$ $(y>=0)$

$\Delta =(1-m)^{2}-4(2m-2)=m^{2}-10m+9$

Phương trình $x^{4}+(1-m)x^{2}+2m-2=0$ có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow y^{2}+(1-m)y+2m-2=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta >0\Leftrightarrow m^{2}-10m+9>0\Leftrightarrow (m-1)(m-9)>0\Leftrightarrow m>9 \begin{bmatrix} m>9\\ m<1 \end{bmatrix}\\ y_{1}+y_{2}>0\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\\ y_{1}.y_{2}>0\Leftrightarrow 2m-2>0\Leftrightarrow m>1 \end{matrix}\right.$.

Vậy $m>9$ thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt dương.

 

b) Nhận xét: $x_{1}$ là nghiệm thì $-x_{1}$ cũng là nghiệm của phương trình bậc 4 trên.

Ta có $x_{1}=\sqrt{y_{1}, x_{2}=-\sqrt{y_{1}, x_{3}=\sqrt{y_{2}, x_{4}=-\sqrt{y_{2}$

Thay vào biểu thức, ta được $y_{1}+y_{2}=2013\Leftrightarrow m-1=2013\Leftrightarrow m=2014$

Edited by lequanghung98, 03-07-2013 - 18:33.

[lamlopbs]

Cách này dở hơn anh Ong Ngựa 97 nhưng mà hi vọng cũng làm phong phú các phương pháp chứng minh BĐT @.@

$(a+1;b+1)\rightarrow (x;y)\Rightarrow x+y\leq 4$

Khi đó $VP=\frac{x^{6}}{(y-1)^{5}}+\frac{y^{6}}{(x-1)^{5}}$

Ta có :

$\frac{x^{6}}{(y-1)^{5}}+64(y-1)+64(y-1)+64(y-1)+64(y-1)+64(y-1)\geq 192x\Rightarrow \frac{x^{6}}{(y-1)^{5}}\geq 192x-320y+320$

Tương tự với BĐT còn lại, cuối cùng :

$VP\geq -128(x+y)+640\geq 128$

Ta có đpcm . Đẳng thức xảy ra khi $x=y=2\Leftrightarrow a=b=1$

bạn giải thích chỗ ta có cho mình với,mình k giỏi toán lém nên đọc không hiểu j hết

[hieuvipntp]

bạn giải thích chỗ ta có cho mình với,mình k giỏi toán lém nên đọc không hiểu j hết

cái này là cô si với 6 số đó bạn

http://diendantoanho...dex.php?/topic/

[phatthemkem]

 

Kỳ thi tuyển sinh 10 THPT chuyên Quốc Học Huế năm 2013-2014

Môn thi: Toán chuyên

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

 Bài 1:(1.5điểm)

  Gỉai hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{1}{x}}=3 & & \\ (x+1)\sqrt{y}=2\sqrt{x} & & \end{matrix}\right.$

Bài $1$ dễ quá không ai làm à

ĐK $x,y> 0$

Từ pt đầu, tao có

$\sqrt{y}=3-(\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}})$

Suy ra pt thứ hai tương đương với

$(x+1)\sqrt{y}=2\sqrt{x}\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})\sqrt{y}=2\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})\left [ 3-\left ( \sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right ) \right ]=2$

Đặt $a=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}$, ta có

$a^2-3a+2=0$

Giải ra được $a=1,a=2$

Với $a=1$ thì pt vô nghiệm

Với $a=2$ thì $x=1$, suy ra $y=1$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)=(1;1)$

[buiminhhieu]

Ai giúp mình câu hình 4.2b với

bạn ơi câu 4.2b là câu 98 sách NCPT toán 9 tập 1 đó

Edited by buiminhhieu, 05-07-2013 - 14:28.

[nguyencuong123]

Thế này mà dễ à

[nguyencuong123]

Câu ni khó đó.

 

 

[hieuvipntp]

bạn ơi câu 4.2b là câu 98 sách NCPT toán 9 tập 1 đó

đúng rùi đó bạn nguyên câu này là câu 98 trong v hữu bình

[congdan9aqxk]

Câu 3

2,gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ (a;b>0)

Theo bài ra ,có $\overline{ab}=q(a+b)+r$ và$\overline{ba}=4q(a+b)+r$

suy ra 3q(a+b)=$\overline{ba}-\overline{ab}=9b-9a$$\Leftrightarrow q(a+b)=3(b-a)$

vì a+b>b-a nên q<3 nên q=1 or q=2

giải 2 TH được $\overline{ab}$=15

[daylacaiten]

sao không ai làm bài hình hết vậy??? làm cho em xem với..........

[Hoangminhanh]

Câu 3
2,gọi số cần tìm là $\overline{ab}$ (a;b>0)
Theo bài ra ,có $\overline{ab}=q(a+b)+r$ và$\overline{ba}=4q(a+b)+r$
suy ra 3q(a+b)=$\overline{ba}-\overline{ab}=9b-9a$$\Leftrightarrow q(a+b)=3(b-a)$
vì a+b>b-a nên q<3 nên q=1 or q=2
giải 2 TH được $\overline{ab}$=15

[Hoangminhanh]

Em không hiểu cái 9b-9a, ai giải thích giùm em với em ngu lắm