KHAI THÁC HỆ QUẢ
của một định lý như thế nào ?
Hệ quả là những kết quả được suy ra trực tiếp từ một định lý nào đó, bản thân nó cũng có nhiều ứng dụng phong phú như các định lý. Với bài viết này mình xin trình bày một số ứng dụng của định lý Pytago và Talet.
I. Dựa vào định lý Pytago: Tổng bình phương hai cạnh góc vuông thì bằng bình phương của cạnh huyền.
( $a^2+b^2=c^2$ )
Kết quả 1: Trong tam giác $ABC$, trung tuyến $BM$, ta có $\boxed{BM^2=\dfrac{AB^2+BC^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}}$.
Ta chứng minh như sau:
Kẻ $BK$ vuông góc $AC$, $K$ thuộc $MC$
Ta có :
$$BK^2=BC^2-KC^2=AB^2-AK^2$$
$$\Rightarrow 2BM^2=2BK^2+2MK^2$$
$$=BC^2-KC^2+AB^2-AK^2+2MK^2$$
$$=BC^2+AB^2+(MK-KC)(MK+KC)-(AK-MK)(AK+MK)$$
$$=BC^2+AB^2+ \frac{AC}{2}(MK-KC)- \frac{AC}{2}(AK+MK)$$
$$\Rightarrow 2BM^2=BC^2+AB^2-\frac{AC^2}{2}$$
$$\Rightarrow BM^2=\dfrac{AB^2+BC^2}{2}-\dfrac{AC}{4}$$
Bài tập vận dụng:
$\boxed{1}$. Cho tam giác $ABC$ có hai trung tuyến $BM$ vuông góc $CN$. Chứng minh rằng:
$$5BC^2=AB^2+AC^2$$
II.Dựa vào tính chất "Trong một tam giác vuông cạnh đối diện với góc 30 độ thì bằng nửa cạnh huyền" và định lý Pytago
Kết quả 2:
Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Khi đó:
a)Nếu $\widehat{A}=30^{\circ}$ thì $\boxed{a^2=b^2+c^2-bc\sqrt{3}}$
b)Nếu $\widehat{A}=60^{\circ}$ thì $\boxed{a^2=b^2+c^2-bc}$
Một số mở rộng:
Mở rộng 1. Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=20^{\circ}$, $BC=a$, $AB=AC=b$. thì ta có: $$\boxed{a^3+b^3=3ab^2}$$
Chứng minh: Gợi ý chứng minh: Trên cạnh $AC$ lấy điểm $M$ sao cho $\widehat{CBM}=20^{\circ}$
Khi đó $\widehat{ABM}=60^{\circ}$ và tam giác $BMC$ cân tại $B$.
Suy ra $BM=BC=a$.
Vì tam giác $BMC$ đồng dạng với tam giác $ABC$ nên : $\frac{MC}{BC}=\frac{BM}{AB}$
Do đó: $MC=\frac{BM.BC}{AB}=\frac{a^2}{b}$ $\Rightarrow AM=b-\frac{a^2}{b}$
Xét tam giác $ABM$ có $\widehat{ABM}=60^{\circ}$ nên theo kết quả 2 ta có
$(b-\frac{a^2}{b})^2=b^2+a^2-ab$
Từ đó $a^3+b^3=3ab^2$
Mở rộng 2. Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=40^{\circ}$, $BC=a$, $AB=AC=b$. thì ta có: $$\boxed{a^3+b^3\sqrt{3}=3ab^2}$$ (Bạn đọc tự chứng minh)
Bài tập vận dụng
$\boxed{2}$.Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=80^{\circ}$, $BC=a$, $AB=AC=b$.Tìm hệ thức liên hệ giữa $A$ và $B$.
Còn tiếp,...rất mong được các bạn ủng hộ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 01-12-2013 - 15:41