Chủ đề này có 2 trả lời

[Trang Luong]

CMR $\frac{1}{4+1^{4}}+\frac{3}{4+3^{4}}+...+\frac{2n-1}{4+(2n-1)^{4}}=\frac{n^{2}}{4n^{4}+1}$ với mọi n nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 08-07-2013 - 14:32

[Juliel]

CMR $\frac{1}{4+1^{4}}+\frac{3}{4+3^{4}}+...+\frac{2n-1}{4+(2n-1)^{4}}=\frac{n^{2}}{4n^{4}+1}$ với mọi n nguyên dương

Đề của bạn hình như sai rồi đấy !

 

Ta có : $k^{4}+4=k^{4}+4k^{2}+4-4k^{2}=(k^{2}+2)^{2}-(2k)^{2}=(k^{2}-2k+2)(k^{2}+2k+2)$

Với $k = 2n - 1$ thì $k^{4}+4=(4n^{2}-8n+5)(4n^{2}+1)=\left [ (2n-2)^{2}+1 \right ].\left [ (2n)^{2}+1 \right ]$

Áp dụng điều này thì :

$4VT=\frac{1.4}{(0^{2}+1)(2^{2}+1)}+\frac{3.4}{(2^{2}+1)(4^{2}+1)}+\frac{5.4}{(4^{2}+1)(6^{2}+1)}+....+\frac{4(2n-1)}{[(2n-2)^{2}+1][(2n)^{2}+1]}=\frac{(2^{2}+1)-(0^{2}+1)}{(0^{2}+1)(2^{2}+1)}+\frac{(4^{2}+1)-(2^{2}+1)}{(2^{2}+1)(4^{2}+1)}+....+\frac{[(2n)^{2}+1]-[(2n-2)^{2}+1]}{[(2n-2)^{2}+1][(2n)^{2}]+1}=\frac{1}{0^{2}+1}-\frac{1}{2^{2}+1}+\frac{1}{2^{2}+1}-\frac{1}{4^{2}+1}+...+\frac{1}{(2n-2)^{2}+1}-\frac{1}{(2n)^{2}+1}=1-\frac{1}{4n^{2}+1}=\frac{4n^{2}}{4n^{2}+1}\Rightarrow VT=\frac{n^{2}}{4n^{2}+1}$

[pham thuan thanh]

$n^{4}+4=\left ( n^{4}+4n^{2}+4 \right )-4n^{2}=\left ( n^{2}+2n+2 \right )\left ( n^{2}-2n +2\right )$.    suy ra           $\frac{1}{1+\left ( 2k-2 \right )^{2}} - \frac{1}{\left ( 2k \right )^{2}+1} = \frac{4\left ( 2k-1 \right )}{4+\left ( 2k-1 \right )^{4}}$     .chon k=1 ta co: $1-\frac{1}{1+2^{2}} =\frac{1.4}{4+1^{4}}$  .  chọn

 k=n ta co; $\frac{1}{1+\left ( 2n-2 \right )^{2}} - \frac{1}{1+\left ( 2n \right )^{2}} = \frac{4\left ( 2n-1 \right )}{4+\left ( 2n-1 \right )^{4}}$ cong n dang thuc trên thu duoc                         ĐPCM