Đến nội dung

Hình ảnh

$a^{3}-b^{3}$ là luỹ thừa bậc bốn của 1 số nguyên

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
holmes2013

holmes2013

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 189 Bài viết

Cho các số nguyên dương a,b,c thoả mãn $a^{2}+ab+b^{2}$ là ước của $a^{3}+b^{3}$ và $a-b$ là số nguyên tố. Chứng minh: $a^{3}-b^{3}$ là luỹ thừa bậc bốn của 1 số nguyên



#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Đặt $a-b=p$ và $gcd(a^{3}-b^{3},a^{3}+b^{3})=d,gcd(a,b)=k$ ta xét hai trường hợp : 

Nếu $a-b$ là số lẻ : 

Ta có $d|2a^{3},2b^{3}$ , dễ thấy ở đây $d$ lẻ nên $d|a^{3},b^{3}$ . Nếu $d=1$ thì ta có ngay $a^{3}-b^{3}|(a-b)(a^{3}+b^{3})=> a^{3}-b^{3}=a-b=>a=b$ đây vô lý . 

Do đó $d>1$ nên $d$ có một ước nguyên tố $q$ , ta suy ngay rằng $a,b$ cùng chia hết cho $p$ . Khi này dặt $a=px,b=py$ ta có $x-y=1$ và $x^{2}+xy+y^{2}|p(x^{3}+y^{3})$ trong đó $gcd(x,y)=1$ nên $x^{3}-y^{3}|p(x^{3}+y^{3})(x-y)=>x^{2}+xy+y^{2}|p(x-y)=p=> x^{2}+xy+y^{2}=p$ với $x-y=1$ như vậy ta có

$$a^{3}-b^{3}=p^{3}(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=p^{4}$$ 

Nếu $a-b=2$ ta có 

$$a^{2}+ab+b^{2}|a^{3}+b^{3}$$

$$3a^{2}-6a+4|3(a+b)ab$$

$$3a^{2}-6a+4|6a(a-1)(a-2)$$

$$3a^{2}-6a+4|2a(a-1)(a-2)$$

$$3a^{2}-6a+4|2a(a-2)$$

$$3a^{2}-6a+4-2a^{2}+4a\leq 0$$

$$a^{2}-2a+4 \leq 0$$

Đây là điều vô lý , vậy ta có đpcm 


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh