Chủ đề này có 3 trả lời

[Quyen Do]

cho a,b,c $\in \mathbb{Q}$ khác nhau đôi một,CMR $\sqrt{\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}{}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}}\in \mathbb{Q}$

[Near Ryuzaki]

Đặt x= $a-b$; y$=b-c$ ; z$=c-a$

Ta có x+y+z=0

Xét: $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz})$

                                                                 = $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{x+y+z}{xyz})$

                                                                 =$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}+\frac{1}{Z^2}}=\begin{vmatrix} {}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & \end{vmatrix}$

=> suy ra đpcm do biểu thức đó là số nguyên

[laiducthang98]

ta đặt a-b=x, b-c=y , c-a=z .Khi đó x+y+z=a-b+b-c+c-a=0

Khi đó $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$

Ta có : 

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})$

$=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{x+y+z}{xyz})$

$=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$ (vì x+y+z) = 0 

........ 

[Quyen Do]

ta đặt a-b=x, b-c=y , c-a=z .Khi đó x+y+z=a-b+b-c+c-a=0

Khi đó $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$

Ta có : 

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})$

$=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{x+y+z}{xyz})$

$=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$ (vì x+y+z) = 0 

........ 

tks các anh  nhiều!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quyen Do: 25-07-2013 - 21:47