1. Họ và tên thật: Đinh Minh Hà
2. Đang học lớp 9A1, trường THCS Lâm Thao, huyện Lâm Thao, tỉnh Phú Thọ
3. Đề : Tìm các sô nguyên dương $a$ và $b$ $a\geq b$ sao cho các nghiệm của phương trình sau là sô nguyên : $x^{2}-abx+(a+b)=0$
4. Đáp án
Gọi $m,n$ là nghiệm nguyên của phương trình : $x^{2}-abx+(a+b)=0 (1)$
giả sử $m\geq n$
Áp dụng định lý Vi-et :
Ta có : $\left\{\begin{matrix} m+n=ab & & \\ mn=a+b & & \end{matrix}\right.(2)$
Do $a,b$ là các sô nguyên dương nên $m,n$ là các sô nguyên dương.
Trước hết ta sẽ chứng minh bồ để sau :
$+)$ Nếu 2 sô nguyên lớn hơn 2 thì tích của chúng lớn hơn tổng của chúng .
Giả sử $a>2,b>2$$\Rightarrow ab>2b,ab>2a\Rightarrow 2ab>2(a+b)\Rightarrow ab>a+b$
Vậy $ab>a+b$
Áp dụng bổ đề trên với 4 số : $a,b,m,n$ thì ta có : $ab< a+b,mn< m+n\Rightarrow ab+mn< m+n+a+b$ vô lý.
Trái với điều (2)
Vậy trong 4 số $a,b,m,n$ có 1 số không lớn quá 2
Không mất tính tổng quát giả sử $n\leq 2$
$+)$ Nếu $n=1$
Từ $(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=m+1 & & \\ a+b=m & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow ab-a-b=1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=2 & & \\ b-1=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=5$
$+)$ Nếu $n=2$
Từ $(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=m+2 & & \\ a+b=2m & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 2ab-a-b=4\Rightarrow 4ab-2a-2b=8\Leftrightarrow (2a-1)(2b-1)=9$
Như vậy ta có 2 trường hợp :
$\left\{\begin{matrix} 2a-1=9 & & \\ 2b-1=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & & \\ b=1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=3$
$\left\{\begin{matrix} 2a-1=3 & & \\ 2b-1=3 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=2$
Kết luận : Vậy $(a,b)\in \left \{ (2;2),(5;1),(3;2) \right \}$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm nguyên