Chủ đề này có 10 trả lời

[E. Galois]

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu về Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình đại số, vô tỉ

 

I- Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu

3) Đăng kí thi đấu

 

II - Yêu cầu về đề bài
1. Hình thức:

- Đề bài phải có đáp án kèm theo.

- Đề bài và đáp án được gõ $\LaTeX$ rõ ràng

2. Nôi dung

* Đối với MHS

- Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu của THPT. Kiến thức dùng để giải bài không vượt quá kiến thức thi tuyển sinh ĐH.

- Đề bài không được ở dạng thách đố, cách giải ngặt ngèo thông qua những bổ đề quá khó, không copy nguyên văn từ đề thi ĐH của Bộ GD&ĐT, đề thi Olympic hoặc HSG cấp tỉnh trở lên.

- Toán thủ không nên copy đề bài từ một topic nào đó của VMF, không được post lại đề đã nộp ra topic mới dù cho đề có được chọn hay không.

 

III - Mẫu đăng kí và nộp đề

1. Họ và tên thật:

2. Đang học lớp ?, trường ?, huyện ?, tỉnh ?

3. Đề 

4. Đáp án

 

IV - Chú ý

1) Bạn sẽ thấy ở trên khung trả lời của bạn có dòng sau Bài viết này phải qua kiểm duyệt của quản trị viên mới được đăng lên diễn đàn.

Điều này có nghĩa là các toán thủ khi nộp đề, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy và ấn nút GỬI BÀI là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

 

2) Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi $\LaTeX$ trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa. 

 

3) Nếu đề bài của bạn không được chấp nhận, BTC sẽ làm hiện nó và nói rõ lý do vì sao, khi đó, bạn phải nộp đề khác. 

Nếu đề bài của bạn được chấp nhận, bạn sẽ thấy tên mình trong danh sách thi đấu tại đây sau mỗi thứ 7 hàng tuần.

 

4) Mỗi tuần, BTC chỉ cho phép toán thủ đăng kí 1 nộp đề cho 1 chủ đề nên bạn đừng ngạc nhiên khi thấy có lúc topic này bị khóa

 

[hoangkkk]

1. Họ và tên thật              :      Phạm Văn Hoàng

 

2. Đang học lớp               :     12A2 chuyên tin

   Trường                          :     THPT Chuyên Phan Bội Châu

   Huyện/Thành Phố         :      Vinh

   Tỉnh                              :      Nghệ An

 

3. Đề Bài

    Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :

    $$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}=27-x^3 & \\
 \left ( x-2 \right )^4+1=y&
\end{matrix}\right.$$

4. Lời giải

 

ĐKXĐ : $\left\{\begin{matrix}
x \geq 2 & \\
y \geq 1 &
\end{matrix}\right.$

Từ phương trình thứ $2$ của hệ ta có : $\left(x-2 \right)^4=y-1$ $\Rightarrow \left(x-2 \right)^2=\sqrt{y-1}$

Thay vào phương trình thư nhất ta được :

$$\sqrt{x-2}=27-x^3+x^2-4x+4$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{x-2}+x^3-x^2+4x-31=0 \left(* \right)$$

Xét hàm số $f \left(x \right)=\sqrt{x-2}+x^3-x^2+4x-31$ với mọi $x \geq 2$

Ta có :

$$f' \left(x \right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}+3x^2-2x+4$$

Dễ thấy $f' \left(x \right) > 0$ với mọi $x > 2$, do vậy $f \left(x \right)$ là hàm đồng biến trên khoảng $\left ( 2,+\infty  \right )$, mặt khác $f \left(3 \right)=0$ $\Rightarrow x=3$ là nghiệm duy nhất của phương trình $\left (* \right)$, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được $y=2$. (thoả mãn ĐKXĐ)

 

Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left ( x,y \right )=\left ( 3;2 \right )$

[Tran Hoai Nghia]

tên:Trần Hoài Nghĩa

lớp 11t1-thpt Cái Nước-Cà Mau

đề:giải phương trình:$2\sqrt{x^{2}-7x+10}=x+\sqrt{x^{2}-12x+20}(x<2)$

lời giải:thực hiện trục căn:

$2(\sqrt{(2-x)(5-x)}-2=(x-1)+\sqrt{(2-x)(10-x)}-3$

ta có:

$2\frac{x^{2}-7x+6}{\sqrt{(2-x)(5-x)}+2}=(x-1)+\frac{x^{2}-12x+11}{\sqrt{(2-x)(10-x)}+3}$

sau khi nhận x=1, phương trình tương đương:

$1+\frac{x-11}{\sqrt{(2-x)(10-x)}+3}-\frac{2x-12}{\sqrt{(2-x)(5-x)}+2}=0$(*)

do x<2 ta có:$(2-x)(10-x)\geq (2-x)(5-x)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{(2-x)(10-x)}+3}\leq \frac{1}{\sqrt{(2-x)(5-x)}+2}$

nhưng do x<2 nên x-11<0, nên:

$\frac{x-11}{\sqrt{(2-x)(10-x)}+3}\geq \frac{x-11}{\sqrt{(2-x)(5-x)}+2}(1)$

hiển nhiên:$1\geq \frac{1}{\sqrt{(2-x)(5-x)}+2}(2)$

lấy (1)+(2) dễ thấy phương trình (*) vô nghiệm nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1.

[stronger steps 99]

1.Họ và tên: Phạm Thị Thu Thảo
2.Lớp:9a1,trường THCS Nguyễn Trực-TT Kim Bài,huyện Thanh Oai,TP.Hà Nội
3. Đề:Tìm tất cả các bộ số nguyên m,n,p thoả mãn 2 đẳng thức :m+n=6 (1) và mn-$2p^{2}$=m+n-3 (2)

4.Giải:từ (1) và (2) có mn=$2p^{2}$+3>0.Do đó ta có:m,n đồng thời là số nguyên dương.Mặt khác m+n=6$\Rightarrow$ m,n cùng là số nguyên dương từ đó ta có m=1,n=5,p=1 hoặc m=5,n=1,p=1

 

 

BTC KHÔNG CHẤP NHẬN ĐỀ THI NÀY. 

LÍ DO: ĐỀ BÀI KHÔNG PHẢI KIẾN THỨC THI ĐẠI HỌC

T/M BTC: E.Galois

 

[THYH]

họ và tên : trần võ thành lớp 11a1 thpt quốc học quy nhơn, tp quy nhơn , tỉnh bình định

 

đề: giai he phuong trinh $\left\{\begin{matrix} xy+y^3-x+4y=7 (1)& & \\ 2xy+y^2-2x-2y+1=0(2) & & \end{matrix}\right.$

đáp án

 $(1)\Leftrightarrow 3y^2+(x+4)y-x-7=0$

coi la phuong trình bậc 2 ẩn y...với x là tham số

$\Delta =(x+4)^2-4.3(-x-7)$ $=x^2+20x+100$ $=(x+10)^2$

$(1)\Leftrightarrow y=\frac{-x-4+x+10}{6}$ hoặc y$(1)\Leftrightarrow y=\frac{-x-4-x-10}{6}$

$\Leftrightarrow y=1$ hoặc $y=\frac{-x-7}{3}$

 

TH1 : $y=1$ thế vào $(2)$ 

$2x-2x+1-2+1=0$

$\Leftrightarrow 0=0$ (luôn đúng)

nghiệm của hệ$\left ( x;1 \right ),\forall x\in\mathbb{R}$

TH2: $y=\frac{-x-7}{3}$ thế vào $(2)$ 

nghiệm của hệ $\left ( -10;1 \right )$

 

 và $\left ( 2;-3 \right )$

 

vậy ta có nghiệm của hệ phương trình là $\left ( 2;-3 \right )$,$\left ( -10;1 \right )$,$\left ( x;1 \right ),\forall x\in\mathbb{R}$

[diepviennhi]

1.Họ Và Tên: Lê Văn Đồng

2.Lớp $11A_{1}$; Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai; Huyện: Từ Liêm; Thành Phố: Hà Nội

3. Đề Bài:

Giải phương trình sau:

$4.\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^{2}}$

4. Bài giải:

Điều kiện Xác Định:$x\in \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$

Đặt $t=\sqrt{1-x}\geq 0$ phương trình đã cho trở thành $4\sqrt{x+1}=3x+1+2t+t\sqrt{1+x}; (1)$

Mặt khác lại có $3x+1=-(1-x)+2(1+x)$ thế vào phương trình $(1)$ ta được $t^{2}-(2+\sqrt{1+x})t-2(1+x)+4\sqrt{1+x}=0$

$\Leftrightarrow (t-\sqrt{1+x})(t-2+\sqrt{1+x})=0$

$\bigstar$ Trường hợp 1: $t=\sqrt{1+x}\Rightarrow \sqrt{1-x}=\sqrt{1+x}\Leftrightarrow 1-x=1+x\Leftrightarrow x=0$(Thỏa mãn)

$\bigstar$ Trường hợp 2: $t=2-\sqrt{1+x}\Rightarrow \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2\Leftrightarrow 2+2\sqrt{1-x^{2}}=4\Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}=1$

$\Leftrightarrow 1-x^{2}=1 \Leftrightarrow x^{2}=0\Leftrightarrow x=0$(Thỏa mãn)

Vậy Tập nghiệm của phương trình là $S=\begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}$

[vuminhhoang]

1. Họ tên : Vũ Minh Hoàng

2. Đang học lớp 11 A trường THPT Yên Mô A huyện Yên Mô tỉnh Ninh Bình

3. Đề thi

 

Giải pt $\sqrt{x^2+x-6}+3\sqrt{x-1}=\sqrt{3x^2-6x+19}$

 

4. Đáp án

 

Điều kiện $x \geq 2$

 

$<=> 3\sqrt{(x-1)(x^2+x-6)} = x^2-8x+17$

 

$<=> 3\sqrt{(x-1)(x-2)(x-3)}=x^2-8x+17$

 

$<=> 3\sqrt{(x^2+2x-3)(x-2)} = (x^2+2x-3)-10(x-2)$

 

$<=> 3\sqrt{\dfrac{x^2+2x-3}{x-2}} = \dfrac{x^2+2x-3}{x-2}-10  (2)$ (vì x=2 không là nghiệm của pt trên)

 

Đặt $t=\sqrt{\dfrac{x^2+2x-3}{x-2}} (t \geq 0)$

 

pt (2) trở thành $t^2-3t-10=0 => t=5$ (vì $t \geq 0$).

 

$t=5 <=> \sqrt{\dfrac{x^2+2x-3}{x-2}} = 5$

 

$<=> x^2+2x-3=25(x-2) <=> x^2-23x+47=0$

 

$<=> x=\dfrac{23 \pm \sqrt{341}}{2}$ (t/m đk)

 

Vậy pt có tập nghiệm T={$\dfrac{23+\sqrt{341}}{2};\dfrac{23-\sqrt{341}}{2}$}

 

 

 

Theo CD13 nên chọn bài này thi đầu tiên!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 03-01-2014 - 21:05

[Valar Morghulis]

1. Tên: Lê Huỳnh Minh Khoa

2. Lớp: 11A1 Trường: Phổ Thông Năng Khiếu TP.HCM

3. Đề: Giải phương trình: $x=\frac{2013- \sqrt[2013]{2012x-2011}}{2012}$

 

4. Đáp án: Phương trình tương đương với: $2012x-2011 = 2-\sqrt[2013]{2012x-2011}$

 

Đặt $\sqrt[2013]{2012x-2011} = a$ thì phương trình trở thành $a^{2013}+a-2=0$. Vì $1+1-2 =0$ nên có $1$ là nghiệm.

 

Nếu $a>1$ thì $a^{2013} + a>1+1=2$. Không có nghiệm thực.

Nếu $a<1$ thì $a^{2013} + a<1+1=2$. Không có nghiệm thực.

 

Vậy chỉ có một nghiệm thực là $x=1$

 

 

BTC KHÔNG CHẤP NHẬN ĐỀ THI NÀY. 

LÍ DO: MHS là cuộc thi không dành cho học sinh lớp năng khiếu

T/M BTC: E.Galois

 

[ducnahasd]

1. Họ và tên thật:Nguyễn Đức Anh

2. Đang học lớp 12A11, trường THPT Thống Nhất B, huyện Thống Nhất, tỉnh Đồng Nai

3. Đề $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4-x^2+1}\geq 2\sqrt{\sqrt{x^2+1}.\sqrt{x^4-x^2+1}}$

 

4. Đáp án

$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4-x^2+1}\geq 2\sqrt{\sqrt{x^2+1}.\sqrt{x^4-x^2+1}}$

$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4-x^2+1}\geq 2\sqrt{\sqrt{x^2+1.}\sqrt{x^4-x^2+1}}=2\sqrt[4]{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}=2\sqrt[4]{x^6+1}$

nên bắt phương trình vô nghiệm

 

 

[Mai Duc Khai]

1. Họ và tên thật: Mai Đức Khải

2. Đang học lớp Bk53, trường THPT Hà Trung, huyện Hà Trung, tỉnh Thanh Hóa.

3. Đề: Giải hệ phương trình gồm 2 phương trình:

$16^{x^2  + y}  + 16^{x + y^2 }  = 1 (1)$ và $x^5  + y^3  = \frac{3}{{32}} (2) $

 

4.Đáp án:

Ta có: 

Xét phương trình 

$16^{x^2  + y}  + 16^{x + y^2 }  \ge 2\sqrt {16^{x^2  + y} .16^{x + y^2 } }  = 2\sqrt {16^{x^2  + y^2  + x + y} } $

$ \Rightarrow 1 \le 2\sqrt {16^{x^2  + y^2  + x + y} }  \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le 16^{x^2  + y^2  + x + y} $

$\Leftrightarrow x^2  + y^2  + x + y \le  - \frac{1}{2}$

$ \Leftrightarrow (x + \frac{1}{2})^2  + (y + \frac{1}{2})^2  \le 0  \Rightarrow x = y = \frac{{ - 1}}{2}$

 

Thay $ x = y = \frac{{ - 1}}{2}$ vào pt thứ 2 của hệ ta thấy thỏa mãn.

 

Vậy $\Rightarrow x = y = \frac{{ - 1}}{2}$ là nghiệm của hệ đã cho.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[phatthemkem]

Em tên là: Huỳnh Tiến Phát

Lớp: 10

Trường: THPT số 1 Đức Phổ

Xã Phổ Văn, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi.

Đề: Giải phương trình

$$2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}(1)$$

Giải:

Điều kiện $x\geq 1$

$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow 3\left ( x-1 \right )+2\left ( x^2+x+1 \right )=7\sqrt{\left ( x-1 \right )\left ( x^2+x+1 \right )}$ $(1^*)$

Dễ thấy $x=1$ không là nghiệm, chia hai vế cho $x-1> 0$, ta có

$\left ( 1^* \right )\Leftrightarrow 2.\frac{x^2+x+1}{x-1}+3=7\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x-1}}$ $\left ( 3 \right )$

Đặt $t=\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x-1}}\Rightarrow x^2+(1-t^2)x+1+t^2=0$ $(4)$

$\Delta _{x}=t^4-6t^2-3$. Tập giá trị của $t$ là nghiệm của hệ bất phương trình sau

 

Theo CD13 chọn bài này là ứng viên thứ 2.

$\left\{\begin{matrix} t\geq 0\\ \Delta _{x}\geq 0 \end{matrix}\right.$

Giải ra ta được $t\geq \sqrt{3+2\sqrt{3}}$ $(5)$

Phương trình $(3)$ trở thành $2t^2-7t+3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=3\\ t=\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

Kết hợp với $(5)$ ta thấy $t=3$ thỏa mãn, thay vào $(4)$ ta được $x^2-8x+10=0\Leftrightarrow x=4\pm \sqrt{6}$ (Thỏa mãn $(2)$)

Vậy $(1)$ có tập nghiệm $S=\left \{ 4\pm \sqrt{6} \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 03-01-2014 - 21:04