Chủ đề này có 1 trả lời

[AnnieSally]

Chứng minh đẳng thức 

$sin^{3}x+\sqrt{3}cos^{3}x+cos(\frac{5\pi }{2}-x).cos^{2}x-\sqrt{3}sin(\frac{3\pi}{2}-x).sin^{2}x=2cos(x-\frac{\pi}{6})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 14-09-2013 - 21:01

[phatthemkem]

Chứng minh đẳng thức 

$sin^{3}x+\sqrt{3}cos^{3}x+cos(\frac{5\pi }{2}-x).cos^{2}x-\sqrt{3}sin(\frac{3\pi}{2}-x).sin^{2}x=2cos(x-\frac{\pi}{6})$

Sử dụng công thức $cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb$ và $sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb$, ta có

$\left\{\begin{matrix} cos(\frac{5\pi}{2}-x)=sinx\\ sin(\frac{3\pi}{2}-x)=-cosx \end{matrix}\right.$

Suy ra $sin^{3}x+\sqrt{3}cos^{3}x+cos(\frac{5\pi }{2}-x).cos^{2}x-\sqrt{3}sin(\frac{3\pi}{2}-x).sin^{2}x$

$=sin^{3}x+\sqrt{3}cos^{3}x+sinx.cos^{2}x+\sqrt{3}cosx.sin^{2}x$

$=sinx(sin^2x+cos^2x)+\sqrt{3}cosx(cos^2x+sin^2x)$

$=sinx+\sqrt{3}cosx$ $(1)$

Mà $2cos(x-\frac{\pi}{6})=2(cosx.\frac{\sqrt{3}}{2}+sinx.\frac{1}{2})=\sqrt{3}cosx+sinx$ $(2)$

Từ $(1),(2)$ suy ra $dpcm.$