Đến nội dung

Hình ảnh

Tôpic nhận đề Đa thức hoặc phương trình hàm


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu về Đa thức hoặc phương trình hàm

 

 

I- Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu

3) Đăng kí thi đấu

 

II - Yêu cầu về đề bài
1. Hình thức:

- Đề bài phải có đáp án kèm theo.

- Đề bài và đáp án được gõ $\LaTeX$ rõ ràng

2. Nôi dung

* Đối với MO

- Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu của THPT. Kiến thức dùng để giải bài không vượt quá kiến thức thi VMO

- Đề bài không được ở dạng thách đố, cách giải ngặt ngèo thông qua những bổ đề quá khó, không copy nguyên văn từ đề thi Olympic hoặc HSG cấp tỉnh trở lên.

- Toán thủ không nên copy đề bài từ một topic nào đó của VMF, không được post lại đề đã nộp ra topic mới dù cho đề có được chọn hay không.

 

III - Mẫu đăng kí và nộp đề

1. Họ và tên thật:

2. Đang học lớp ?, trường ?, huyện ?, tỉnh ?

3. Đề 

4. Đáp án

 

IV - Chú ý

1) Bạn sẽ thấy ở trên khung trả lời của bạn có dòng sau Bài viết này phải qua kiểm duyệt của quản trị viên mới được đăng lên diễn đàn.

Điều này có nghĩa là các toán thủ khi nộp đề, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy và ấn nút GỬI BÀI là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

 

2) Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi $\LaTeX$ trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa. 

 

3) Nếu đề bài của bạn không được chấp nhận, BTC sẽ làm hiện nó và nói rõ lý do vì sao, khi đó, bạn phải nộp đề khác. 

Nếu đề bài của bạn được chấp nhận, bạn sẽ thấy tên mình trong danh sách thi đấu tại đây sau mỗi thứ 7 hàng tuần.

 

4) Mỗi tuần, BTC chỉ cho phép toán thủ đăng kí 1 nộp đề cho 1 chủ đề nên bạn đừng ngạc nhiên khi thấy có lúc topic này bị khóa

 

 


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
dinhthanhhung

dinhthanhhung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Họ và tên : Đinh Thành Hưng

Lớp : 10T1 THPT chuyên Hanoi-Amsterdam

Đề : Tìm $f:R\rightarrow R$ thoả mãn :

$(x^3+3x^2+3x+2)f(x-1)=(x^3-3x^2+3x-2)f(x),\forall x$

Giải : 

Ta có : $(x+2)(x^2+x+1)f(x-1)=(x-2)(x^2-x+1)f(x),\forall x$

Suy ra :$f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=0$

Đặt : $f(x)=x(x+1)(x-1)(x+2)g(x)$

Thay vào ta có : $(x+2)(x^2+x+1)(x-1)(x-2)x(x+1)g(x-1)=(x-2)(x^2-x+1)(x+1)(x-1)(x+2)g(x),\forall x$

$\Rightarrow (x^2+x+1)g(x-1)=(x^2-x+1)g(x),\forall x$

$\Leftrightarrow \frac{g(x-1)}{x^2-x+1}=\frac{g(x)}{x^2+x+1},\forall x$

$\Leftrightarrow \frac{g(x-1)}{(x-1)^2+(x-1)+1}=\frac{g(x)}{x^2+x+1},\forall x$

Đặt : $h(x)=\frac{g(x)}{x^2+x+1}\forall x\neq 0,-1,1,2$

Suy ra : $h(x)=h(x-1)\forall x\neq 0,-1,1,2$

hay $h(x)=M$

Vậy : $f(x)=M(x^2+x+1)x(x+1)(x-1)(x+2)$

Thử lại thấy thoả mãn bài toán .



#3
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

1. Họ và tên: Trần Ngọc Bách.

2. Lớp: 11T1. Trường: THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, TP Cà Mau, tỉnh Cà Mau.

3. Đề bài: Tìm các hàm f: $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thoả:

$f(x-y)+f(xy)=f(x)-f(y)+f(x).f(y)$(*); $\forall x,y\in\mathbb{R}$.

4. Lời giải:

Thay $x=y=0$ vào (*) ta được: $f^{2}(0)=2f(0)\Leftrightarrow f(0)=0\vee f(0)=2$.

TH1: $f(0)=0$. Thay $x=0$ vào (*) ta được $f(-y)=-f(y),\forall y\in \mathbb{R}$ (1). Từ đó ta có: $f(-xy)=-f(xy),\forall x,y\in \mathbb{R}$ (2).

Thay y bởi - y vào (*) và kết hợp với (1) ta được $f(x+y)-f(xy)=f(x)+f(y)-f(x).f(y)\Rightarrow [f(x+y)-f(xy)]+[f(x-y)+f(xy)]=[f(x)+f(y)-f(x).f(y)]+[f(x)-f(y)+f(x).f(y)]$ (3), hay là:

$f(x-y)+f(x+y)=2f(x)$. Mặt khác cho $x=y$ ta được $f(2x)=2f(x)$ (4). Từ (3), (4) ta suy ra $f(x-y)+f(x+y)=f(2x)$, từ đó ta có $f(x)+f(y)=f(x+y)$ (5). Suy ra $f(xy)=f(x).f(y)$ (từ (3) và (5) ta suy ra) (6).

Thay $y=1$ vào (6) ta được $f(x)=f(1).f(x)\Rightarrow f(1)=1 \vee f(x)=0$. Nếu $f(x)=0$ thì thay vào (*) ta thấy thoả.

Nếu $f(1)=1$ thì từ (5) ta suy ra $f(x+1)=f(x)+1$. Từ đó ta có $f(n)=n,\forall n\in \mathbb{N}$, mà theo (1) ta có $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Z}$. Ta lại có:

$\forall\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}:n.f(\frac{m}{n})=f(n).f(\frac{m}{n})=f(n.\frac{m}{n})=f(m)=m \Rightarrow f(\frac{m}{n})=\frac{m}{n}\Rightarrow f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Q}.$

Bây giờ ta sẽ chứng minh với mọi số thực x thì $f(x)=x$.

Thật vậy xét hai số thực a, b mà $a>b$ thì $f(a)-f(b)=f(a-b)=f^{2}(\sqrt{a-b})>0\Rightarrow f(a)>f(b)$. Ta giả sử $f(x)=a<x\Rightarrow \exists b\in \mathbb{Q}:a<b<x$. Ta suy ra $f(b)=b$ theo chứng minh trên. Ta có: $a<b<x \Rightarrow f(a)<f(b)<f(x)=a \Rightarrow a>b$ (vô lí). Tương tự nếu $f(x)=a>x$ thì cũng dẫn tới điều vô lí. Do đó $f(x)=x$. 

Vậy nên $f(x)=0$ và $f(x)=x$ là hai hàm thoả đề bài.

TH2: $f(0)=2$. Thay $x=0$ vào (*) ta được $f(-y)=f(y)$. Thay y bởi -y vào trong (*) ta được $f(x+y)+f(xy)=f(x)-f(y)+f(x).f(y)$ (**). Từ (*) và (**) ta suy ra $f(x-y)=f(x+y)$ (7).

Thay $x=y$ vào (7) ta được $f(2x)=2,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=2 \in \mathbb{R}$. Thử lại ta thấy hàm $f(x)=2$ thoả đề bài.

Tóm lại, ta có ba hàm thoả đề bài là $f(x)=0,f(x)=2,f(x)=x$.


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#4
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

1. Họ và tên thật: Đặng Trần Quang

2. Đang học lớp 10T1 Trường THPT Chuyên ĐHSPHN

3. Đề :
Tìm $p(x) = x^2 + ax + b$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ sao cho $\exists q(x) \in Z[x]$ thoả mãn: $r(x) = p(x).q(x)$ có các hệ số $\in \begin{Bmatrix} 1;-1 \end{Bmatrix}$

4. Đáp án:
$r(x) = c_o + c_1x + .. + c_nx^n + c_{n+1}x^{n+1} + c_{n+2}x^{n+2}$

Gọi $z_1, z_2$ là 2 nghiệm phức của $p(x)$

Ta có: $|b| = 1 \Rightarrow |z_1z_2| = |1|$

Giả sử $|z_1| \geq |z_2| > 0 \Rightarrow \in \begin{Bmatrix} |z_1| \geq 1 \\ 0 < |z_2| \leq 1 \end{Bmatrix}$

$|a| = |z_1 + |z_2| \leq |z_1| + 1$

Ta có: $z_1$ là nghiệm của $r(x)$

Giả sử $z$ là nghiệm của $r(x)$ mà $|z| > 1$ thì $z = -[a_{n-1}z^{n-1} + .. + a_1z + a_0]$ với $a_i \in \in \begin{Bmatrix}1;-1\end{Bmatrix}$

$\Rightarrow |z|^n = |z^n| \leq \dfrac{|z|^n - 1}{|z| -1}$

$\Rightarrow |z|^n(|z| -2) \leq -1$

$\Rightarrow |z| < 2$

$\Rightarrow |a| < 3$

Tới đây thử từng trường hợp là ta có đáp số của bài toán!

 



#5
nguyenxuanthinh59

nguyenxuanthinh59

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Tên: Nguyễn Xuân Thịnh

Lớp:10CT

Trường: THTH-ĐHSP TPHCM,quận 5,TP HCM

Đề:Cho P(x) là đa thức hệ số nguyên sao cho nó nhận giá trị 1 cho 4 giá trị nguyên khác nhau của x.CMR với mọi số nguyên x,P(x) khác 24

Đáp án:

 

 

 

BTC KHÔNG CHẤP NHẬN ĐỀ THI NÀY.

Lý do:

- Không có đáp án

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 24-11-2013 - 15:05
Không chấp nhận đề


#6
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

1. Họ và tên: Trần Ngọc Bách.

2. Lớp: 11 Chuyên Toán, Trường: THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, TP Cà Mau, tỉnh Cà Mau.

3. Đề: Có tồn tại hay không số $\alpha \in\mathbb{R}$ sao cho tồn tại hàm số f: $[2013^{2013};2014^{2014}]\rightarrow [2013^{2013};2014^{2014}]$ liên tục và thỏa mãn:

 1)$f(x)+f(y)\geq x+y+(\alpha-2014)^{2},\forall x,y \in [2013^{2013};2014^{2014}]$;

 2)$f(2014^{2014})\neq 2014^{2014}$?

4. Đáp án:

Đặt $2013^{2013}=a,2014^{2014}=b$. Xét hàm số $g(x)=f(x)-x$. Khi đó $g(x)$ liên tục.

Ta có: $g(a)=f(a)-a\geq 0;g(b)=f(b)-b<0$. Do đó phương trình $g(x)=0$ có nghiệm. Gỉa sử các nghiệm của nó là $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ (n là số nguyên dương).

Thay $x=b$ và $y=x_{i}$ vào điều kiện 1) ta được: $f(b)\geq b+(\alpha-2014)^{2}$ (1).

Mà $f(x)\leq b,\forall x\in[a;b]$ nên từ (1) ta suy ra $(\alpha-2014)^{2}\leq 0\Rightarrow \alpha =2014$.

Khi đó ta có dấu bằng xảy ra, tức là $f(b)=b$ (điều này trái với điều kiện 2, vô lí).

Vậy nên không tồn tại số $\alpha$ thỏa mãn đề bài.


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#7
PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Họ và tên: Phan Trung Kiên

Học sinh lớp 10A1, Trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An

Đề:

Tìm hàm số $f$:$(-1;+\infty )\rightarrow (-1;+\infty )$ thõa mãn:

i) $f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$  $\forall x,y\in (-1;+\infty )$

ii) $\frac{f(x)}{x}$ là hàm đồng biến với $\forall x\in (-1;+\infty )$

Đáp án:

$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$  (1)

Xét phương trình $f(x)=x$  (2)

Do $\frac{f(x)}{x}$ là hàm đồng biến với $\forall x\in (-1;+\infty )$ nên phương trình (2) có nhiều nhất ba nghiệm.

Xét a là một nghiệm của (2) với $a\in (-1;0)$, tức $f(a)=a$

Thay $x=y=a$ vào (1) ta có:

$f(2a+a^{2})=2a+a^{2}$

mà $2a+a^{2}\in (-1;0)$

$\Rightarrow$ $2a+a^{2}$ là một điểm bất động của $f$

$\Rightarrow 2a+a^{2}=a\Leftrightarrow a^{2}=-a$ với $a\in (-1;0)$ (vô lý).

Tương tự ta xét a là một nghiệm của (2) với $a\in (0;+\infty )$ cũng dẫn tới điều vô lý

Từ đó ta có: 0 là điểm bất động duy nhất của $f$  (3)

Thay $y=x$ vào (1) ta có:

$f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x)$

$\Rightarrow x+f(x)+xf(x)$ là một điểm bất động của $f$.

Kết hợp với (3) $\Rightarrow x+f(x)+xf(x)=0\Rightarrow f(x)=-\frac{x}{x+1}$ với $\forall x\in (-1;+\infty )$

Thử lại ta thấy hàm $f$ thõa mãn yêu cầu.

 

 

 


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#8
kai1510

kai1510

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

1)Họ tên : Phạm Lê Tuấn Anh

2)Học lớp 10A1 trường THPT Hương Sơn
  huyện Hương Sơn tỉnh Hà Tĩnh

3)Đề bài :tìm P(x) với hệ số thực thoả mãn 

  $\left ( x^{3}+3x^{2}+3x+2 \right )P(x-1)=\left ( x^3-3x^2+3x-2 \right )P(x) (1)$

4)giải 

$(1)\Leftrightarrow \left ( x+2 \right )(x^2+x+1)P(x-1)=(x-2)(x^2-x+1)P(x)$

chọn x=-2 suy ra P(-2)=0

        x=-1           P(-1)=0

        x= 1           P(1)=0

        x=0            P(0)=0

suy ra P(x)=x(x-1)(x+1)(x+2)G(x)

thay P(x) vào (1) suy ra (x^2+x+1)G(x-1)=(x^2-x+1)G(x) với mọi x

           $\Leftrightarrow \frac{G(x-1)}{\left ( x-1 \right )^{2}+(x-1)+1}=\frac{G(x)}{x^2+x+1}$ với mọi x

        đặt $R(x)=\frac{G(x)}{x^2+x+1}$ với $x\neq 0,\pm 1,-2$

 suy ra R(x)=R(x-1) với $x\neq 0,\pm 1,-2$

 suy ra R(x)=C 

Vậy P(x)=Cx(x-1)(x+1)(x+2) thoả mãn bài toán






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh