Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn hệ thức $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz$
(Đề thi thử lần 2 khối A và A1 năm 2013 của Moon.vn)
Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn hệ thức $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz$
(Đề thi thử lần 2 khối A và A1 năm 2013 của Moon.vn)
Cách duy nhất để học toán là làm toán
Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn hệ thức $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz$
(Đề thi thử lần 2 khối A và A1 năm 2013 của Moon.vn)
Ta có : $(x+y+z)^{3}=\sum x^{3}+3\sum xy(x+y)+6xyz$
Theo $Schur$ bậc $3$ ta có :
$\sum xy(x+y)\leq \sum x^{3}+3xyz$
Suy ra $(x+y+z)^{3}=\sum x^{3}+3\sum xy(x+y)+6xyz\leq 4\sum x^{3}+15xyz$
Vậy $minP=1$
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ hoặc $(a,b,c)$ là một hoán vị của bộ $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Strygwyr: 14-08-2013 - 07:50
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức $N= 6 - 3a - 4b + 2ab$Bắt đầu bởi Phuockq, 10-04-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh