Cho $a,b,c>1$ thoả mãn $a+b+c=4$.Chứng minh $xyz \geq 64(x-1)(y-1)(z-1)$
Chứng minh $xyz \geq 64(x-1)(y-1)(z-1)$
Bắt đầu bởi badboykmhd123456, 25-08-2013 - 17:53
#1
Đã gửi 25-08-2013 - 17:53
badboykmhd123456
-
- Thành viên
-
- 296 Bài viết
Thượng sĩ
#2
Đã gửi 25-08-2013 - 18:25
letankhang
-
- Thành viên
-
- 1079 Bài viết
$\sqrt{MF}'s$ $member$
Cho $a,b,c>1$ thoả mãn $a+b+c=4$.Chứng minh $xyz \geq 64(x-1)(y-1)(z-1)$
Đề mình sửa lại cho giống là : $x;y;z> 1$ thoả mãn $x+y+z=4$. Chứng minh $xyz\geq 64(x-1)(y-1)(z-1)$
Đặt : $x-1=a;y-1=b;z-1=c\Rightarrow a+b+c=1$
$\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq 64abc$
Thế $1=a+b+c$ vào $VT$ ta được :
$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)=(a+a+b+c)(b+a+b+c)(c+a+b+c)\geq 4\sqrt[4]{a^{2}bc}.4\sqrt[4]{ab^{2}c}.4\sqrt[4]{abc^{2}}=64\sqrt[4]{a^{4}b^{4}c^{4}}=64abc$
BĐT cuối luôn đúng.
$\Rightarrow xyz\geq 64(x-1)(y-1)(z-1)$ $(đpcm)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 25-08-2013 - 18:30
- L Lawliet, donghaidhtt, Near Ryuzaki và 2 người khác yêu thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
#3
Đã gửi 25-08-2013 - 18:31
tienthcsln
-
- Thành viên
-
- 99 Bài viết
Hạ sĩ
BĐT cần cm tương đương với:
$\frac{1}{64}\geq \left ( 1-\frac{1}{x} \right )\left ( 1-\frac{1}{y} \right )\left ( 1-\frac{1}{z} \right )$ (*)
Áp dụng BĐT AM-GM ta được:
VP(*) $\leq \left [ \frac{3-\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )}{3} \right ]^{3}\leq \left ( \frac{3-\frac{9}{x+y+z}}{3} \right )^{3}\doteq \frac{1}{64}$ (vì x+y+z=4)
(ĐPCM)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienthcsln: 25-08-2013 - 18:36
- donghaidhtt và caybutbixanh thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
