1 reply to this topic

[hongnhung121296]

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}-2=3x-3y^{2}& \\  x^{2}-\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+2=0& \end{matrix}\right.$

 

 

Edited by E. Galois, 07-09-2013 - 12:24.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

ĐK: $-1 \leq x \leq 1$ và $0 \leq y \leq 2$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$x^3 - 3x = y^3 – 3y^2 + 2 \Leftrightarrow x^3 - 3x = (y - 1)^3 – 3(y - 1)$
 

Đặt $y - 1 = a \, (a \in [-1; 1])$, ta được: $x^3 - 3x = a^3 - 3a \, (1)$

Xét hàm số $f(t) = t^3 - 3t$ trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 3 \leq 0$ $\forall$ $-1 \leq t \leq 1$

Vậy, hàm nghịch biến trên [-1; 1]. Khi đó: (1) $\Leftrightarrow x = a = y - 1$

 

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu, ta được: $x^2 - 4\sqrt{1 - x^2} + 2 = 0$
Đặt $\sqrt{1 - x^2} = u \geq 0$, ta được: $u^2 + 4u - 3 = 0 \Leftrightarrow u = -2 \pm \sqrt{7}$

Do $u \geq 0 \Rightarrow u = -2 + \sqrt{7}$ 

$\Rightarrow x = \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{4\sqrt{7} - 10}$

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 07-09-2013 - 13:49.